夏繁军 朱朋

【摘要】通过对课程标准和教材内容的分析与解读，提取本单元的数学大概念，确定大概念的层级;分析学情，确定适当的教学目标;依据大概念，结合学生学习实际，设计学习活动，制定直指大概念理解的学习进阶水平和评价方式，这个完整的闭环是数学大概念和学习进阶视角下单元学习活动设计的路径.

【关键词】数学大概念;基本数量关系;单元学习活动;学习进阶水平

普通高中课程方案（2017年出版2020年修订）在关于学科课程标准中提出“凝练学科核心素养”;“精选学科内容，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实.”＼[1＼]

当前数学大概念研究集中在以下四个角度：大概念的内涵与提取;如何依据大概念进行单元教学设计;如何在课时教学中落实大概念;如何评估学生对大概念的理解.借鉴中外学者研究成果，结合数学知识发生发展的规律和学生学习数学的认知规律，我们界定数学大概念应包括数学核心概念、主要数学思想方法、重要的数学技能、解决问题的一般思路、数学观念.一个数学大概念可能涉及以上五个角度中的某几个.

通过对课程标准和教材内容的分析与解读，明确本章为什么学？学什么，怎么学？再对数学概念进行分级抽象概括，提取本单元的数学大概念，确定大概念的层级;分析学情，确定适当的教学目标;依据大概念，结合学生学习实际，设计学习活动，制定直指大概念理解的学习进阶水平和评价方式.这是一个完整的闭环.下面以普通高中教科书数学必修第一册人教B版第二章“等式与不等式”为例，说明大概念和学习进阶视角下单元学习活动设计的路径.

1本章概述

人教B版“等式与不等式”属于主题一，是继第一章《集合与常用逻辑用语》之后的又一预备知识.方程与不等式属于义务教育阶段“数与代数”中的课程内容，本章在系统梳理等式与不等式的基本性质等相关知识的基础上，进行了适当的拓展与延伸.本章立足运算研究不等式，第三章学习“函数”，又从函数角度重新看方程、不等式，明确三者的联系，既体现数学的整体性，又展示认识数学的阶段性.

不等式与数、式、方程、函数、三角、数列、导数等内容有密切的联系.讨论方程或方程组的解集情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值等，都经常用到不等式的知识.等式和不等式的性质为后面数学运算的变形和数学推理的进行提供基础.不等式在研究函数单调性，幂指对函数、三角函数、数列的性质中起到重要作用，在解决各类实际问题时不等式也有广泛的应用.在不等关系中发展学生数学抽象素养;在依据不等式性质解不等式中发展学生数学运算和逻辑推理素养，让学生认识到运算要遵循运算法则，推理要有依据，这些数学能力和思维习惯对学生高中三年以及今后学习数学都起到重要预备作用.

2课程标准对本章的定位

相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式＼[2＼].

3本章内容与内容解析

本章内容共分为两部分.

第一部分是等式，呈现了等式的性质与方程的解集、根与系数的关系、方程组的解集.

等式包括恒等式、条件等式和矛盾等式.恒等式是进行代数恒等变形的重要依据，条件等式实质上就是方程（组），矛盾等式则是等式解集为空集的方程.

第二部分是不等式，呈现了不等式及其性质、不等式的解集、一元二次不等式的解法、均值不等式及其应用.

两个实数大小关系的基本事实是研究不等式性质的逻辑基础，这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系.是比较“数与式的大小关系”的基本方法;同时使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为证明不等式提供了运算工具，使不等式的证明具有明显的逻辑性.

不等式的基本性质与等式的基本性质蕴含着相同的数学思想方法，也包括不等关系自身的特性和不等关系对运算的“不变性、规律性”两类.不等关系自身的特性有“对称性”和“传递性”两种.“对称性”是不相等的两个实数大小关系的两种等价表达形式，是实数序特性的体现;“传递性”反映了三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现.不等关系对运算的不变性、规律性，使不等式的两边同时进行“加法、乘法”等运算，得出新的不等关系.不等式对于乘法运算不具有“保序性”，这也是不等式性质与等式性质的主要差异＼[3＼].

不等式的基本性質又是研究不等式的一些常用性质的基础，可以借助推广和特殊化的方法由不等式的基本性质得出不等式其他常用性质.

方程与方程组的解集、不等式的解集的概念，巩固了集合的概念，也有利于一元二次方程有等根的表述.解方程（组）的过程发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养.

均值不等式是一个重要不等式，有着丰富的实际背景和几何背景，均值不等式和其他重要不等式模型一样，在解决实际生活问题、构建数学命题体系中有着重要作用.比如柯西不等式、排序不等式.通过最简单的均值不等式的学习可以帮助同学打开认识和证明重要不等式之门.初步认识重要不等式在证明不等式和求最值中的应用.

本章知识结构如图1所示.

4本章“大概念”的提取

根据数学大概念的定义和提取路径，本章首先想到的大概念就是“基本数量关系”，即“相等关系与不等关系”.

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学.数量关系中最基本的就是相等关系与不等关系.空间形式是指事物的大小、形状、位置关系.而位置关系主要指空间点、线、面的位置关系，我们主要研究平行和垂直两种关系.

学生从小学就开始学习数与数量.从认识数到认识量，认识量与量的关系，从字母表示数开始，就有了变量a，b，c，x，y，z等，从常量发展到变量;数与变量一起运算的结果就得到代数式，代数式之间有加减乘除运算.变量间的对应关系构成函数.

人教A版教材主编章建跃老师在第二册教师参考用书前言部分，对于中学数学的一些关键问题给出他的理解.其中数量关系的结构图如图2所示＼[4＼].

结构图提出实数系、复数系、向量系是数量关系研究的主要对象.

基本数量关系和位置关系都是一种确定的关系;与之相对的是不确定的关系，我们会在概率与统计部分学习.再进一步抽象就是“关系”.“关系”不仅是数学学科内的大概念，也是很多学科的大概念.在自然科学和人文科学中都发挥重要纽带作用.现代汉语词典对关系的解释是：事物之间相互作用、相互影响的状态.

其次本章着重要发展的学生的核心素养也是大概念，本章主要发展以下三种数学核心素养.

①数学抽象：从实际背景中抽象出等式、方程与方程组、不等式与不等式组，这是学生用数学眼光从现实世界中发现数量关系，然后用数学语言，选择适当的数学模型表示数量关系的过程，是解决问题的第一步，新教材在本部分以及后面函数部分、概率部分都有大量这样的例子，真正让学生能够用所学知识解决现实中的问题，体现出数学的应用价值.

②数学运算：本章对数学运算要求较高，解简单高次方程，用因式分解、配方法、十字相乘法解一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系进行运算;解三元一次方程组;方程x-y=1的解集表示为{（x，y）|x-y=1}，二元二次方程组的解用有序数组（x，y）表示，实际是为后面求两条曲线交点的坐标做准备;解未知数个数多于方程个数的三元一次方程组，实际是为后面学习空间平面的法向量打基础.

③逻辑推理：在本章主要体现在以下两个内容.

类比的研究方法.类比等式的性质研究不等式的性质;完全平方公式等数学公式是特殊的恒等式，基本不等式则是特殊的不等式.

不等式的证明.本章给出证明不等式的几种方法：作差法、综合法、分析法、反证法.作用是解决“为什么要证明？怎样证明？我们能不能证明？”三个问题.首先是提醒学生要从初中的以观察发现、直观认可为主过渡到高中的严格数学推理为主，说明为什么要证明，同时给出证明的基本方法.

为此确定本章大概念的层次关系（图3）

5学情分析

不等式性质的探究是以实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的.学生初中是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没有进行严格的证明，也没有挖掘这些性质中所蕴含的思想方法.高中阶段对等式与不等式的学习强调逻辑推理和数学的理性思维，学生以下两个方面存在困难.

（1）认识不到实数大小关系的基本事实在证明不等式中的作用;不等式证明中不善于用不等式的性质，总是回到作差法;对于分析法、反证法证明不等式的表述形式不熟悉.

（2）对均值不等式的应用存在偏差.均值不等式是一种重要不等式模型，只要a，b∈R+，不管a+b与ab是否为定值，不等式都成立，它表示一种重要的不等关系，只有当a+b或ab是定值，且等号验证成立时才能用来求最值.

由此确定本单元的教学难点：理解实数大小关系的基本事实;梳理等式基本性质中蕴含的思想方法;类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质;运用不等式的性质证明简单的不等式;分式不等式的解法;均值不等式的应用.

突破难点的关键：在不等式性质证明中，让学生理解实数大小关系基本事实的作用，在研究不等式性质时类比等式的性质;在不等式證明中，让学生学会先对不等式进行分析，然后选择适当的方法给予证明，教师示范证明的格式;均值不等式的学习第一节课先学习用均值不等式进行不等式的证明，第二节课再学习用均值不等式求最值，把二者分开来学.

6学习目标和学习活动设计

依据大概念和学情分析确定可评估的学习目标、学习重点.为实现学习目标，突出重点，突破难点，教师要设计合适的学习活动，学习活动可以通过挑战性任务来引领.目标、活动、评价三者之间要保持一致.结合我校学生实际学习能力，我们打通“等式”与“不等式”内容，用“类比研究”的方法学习“等式与不等式”.为此提出6个挑战性任务：设计11个学习活动，对应11个课时.

活动1：等式性质与不等式性质对照，如下表.

认识两个实数的大小与两个实数的差与0的大小关系.能运用两个实数大小关系的基本事实比较“数与式的大小”、证明不等式的基本性质，能从不等式的基本性质出发，对基本性质进行“一般化”和“特殊化”，猜测并证明不等式的一些常用性质.

运算中的不变性就是性质，这是个大概念，在函数性质研究，三角函数诱导公式、三角恒等变换中都有体现.

活动2：通过具体例子初步学会作差法、综合法证明不等式，发展学生逻辑推理素养和数学运算素养.

活动3：学会用分析法、反证法证明不等式，为整个高中学习证明问题打下整体思维基础，发展学生逻辑推理素养和数学运算素养.

活动4：能用配方法推导一元二次方程的求根公式，体会从特殊到一般的研究方法，认识一元二次方程根与系数的关系，学会十字相乘解一元二次方程.

活动5：会利用集合的运算、不等式的性质解一元一次不等式组、含绝对值不等式，熟悉运算规则.

活动6：会解一元二次不等式，学生能从实际情境中抽象出一元二次不等式，能从运算角度对不等式进行变形，会用因式分解法、公式法、配方法来解一元二次不等式，会用集合表示不等式的解集.会解一元二次方程、二元二次方程组，三元一次方程组，提高学生数学抽象、数学运算的素养.

活动7：会解含参数一元二次不等式，逐步学会对参数进行讨论，会把简单高次不等式转化为整式不等式.体会转化方法在数学问题求解中的重要性.

活动8：初步学会解二元一次方程组，三元一次方程组、二元二次方程组，为求两条直线的交点坐标，空间向量的法向量，直线与二次曲线的交点，两个二次曲线的交点打下思维和运算的基础.

活动9：能类比完全平方等重要等式，学习重要不等式（均值不等式），理解基本不等式的几何解释;会推导基本不等式网如图4所示，会用基本不等式证明不等式，体会基本不等式对式子进行放缩的作用.

活动10：会用基本不等式求最值，能总结出基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等、缺一不可.

活动11：能建构结构图，对比等式与不等式之间的关系，加深对等式与不等式之间联系的认识.

7学习评价

直指大概念理解的学习评价贯彻于学习活动全过程，评价要考虑评价标准和评价的形式.

评价标准呈现学生的学习进阶水平，评价方式服务于评价内容和评价目的.

7.1学习进阶水平

学习进阶是描述学生学习某一主题的过程中对概念的理解和认识如何逐步发展的、以实证为基础的、可检验的假说;它具有层次性和阶段性;有助于整合零碎分散的知识，形成有系统的知识序列或概念网络＼[5＼].教师可以基于学生对概念理解的进阶程度和问题解决的进阶程度制定进阶水平.这些进阶水平帮助教师清楚学生学习的层级，编制具体评价问题.

7.2学习评价方式

大概念是更加抽象、上位的概念，因此，除了课前诊断、课后作业外，需要更加开放、综合的问题来组织学习活动和评价.而大概念又是在具体知识技能基础上的抽象概括，因此，开放综合的问题也要能够细化、分解.在实践中，提取数学大概念后，思考挑战性任务，设计学习活动时主要利用以下几类指向数学大概念理解的问题（值得注意的是，这些问题有时是交叉的，就像连续光谱一样不好区分），用于教学和评价＼[6＼].

（1）单元或课时基本问题

基本问题是指在学科或课程中处于核心位置、能促进学生深入思考和探究、能激发知识的联系和迁移的总结性问题或单元的主题性问题.威金斯和麦克泰格将基本问题比作大概念教学的航标：“最好的问题是指向和突出大概念的.它们就像一条过道，通过它们，学习者可以探索内容中或许仍未被理解的关键概念、主题、理论、问题，在借助启发性问题主动探索内容的过程中加深自己的理解.”[7]在他们的单元整体设计模板中，基本问题和大概念是相配套的.比如不等式一章的基本问题可以是：如何理解相等关系与不等关系？

（2）单元探究问题

基本问题和探究问题都具有复杂性.相对而言，基本问题偏向本源，因开放思辨而比较“虚”，故答案不确定;而探究问题偏向应用，因综合实践而比较“实”，故完成比较难.课标附录2中给出的“教学与评价案例”大多是比较典型的探究问题.这些探究问题通常是对课时学习内容的综合应用，可以促进学生的深度学习，让学生持续理解大概念.

每个挑战性任务都可以当做一个探究问题.

（3）课堂引導性问题

把基本问题、探究问题分解成课堂引导问题，每一个问题都针对某个知识点，课堂引导问题兼具教学和评价作用，可以很好地呈现学生学习的进阶.课堂就是师生思想相互交流的过程，教师对学生课堂生成的反馈要及时，教师和学生的相互评价共同促进学习的进程.

（4）课堂诊断性问题

课堂检测题与课堂教师提出的问题不同，是学习某个知识点后对学生学习情况的评价，往往会有分数的反馈，代用形成性评价.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中课程方案（2017版2020修订）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2020.

[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017版2020修订）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2020：16.

[3]刘勇，沈婕，李龙才.等式性质与不等式性质教学设计、教学反思与点评＼[J＼].中学数学教学参考，2019（09）：14.

[4]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中数学教科书人教A版，数学必修（第二册）教师教学用书＼[M＼].北京：人民教育出版社，2019：4.

[5]吴颖康，邓少博，杨洁.数学教育中学习进阶的研究进展及启示＼[J＼].数学教育学报，2017（06）：40.

[6]夏繁军，常丽艳，尤飞.指向数学大概念的问题设计＼[J＼].教育研究与评论，2021（10）：42.

[7]格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格.追求理解的教学设计（第二版）＼[M＼].闫寒冰，宋雪莲，赖平译.上海：华东师范大学出版社，2017：121.

作者简介夏繁军（1968—），男，山东新泰人，中学高级教师;主要研究中学数学教育与教学;北京市学科带头人.

朱朋（1972—），男，山东滕州人，中学高级教师;主要研究中学数学教育与教学.