刘鹏 李云伍 梁新成

（西南大学，重庆 400715）

主题词：锂电池 荷电状态 等效电路模型 无迹卡尔曼滤波

1 前言

锂电池荷电状态（State of Charge，SOC）是电动汽车电池管理系统的核心参数之一，可为整车电池组的控制策略提供判断依据。一般通过对锂电池输出电压、负载电流和工作温度等参数的实时监测实现SOC估计，进而实现锂电池充放电控制、热管理等功能。同时，SOC估计精确与否直接影响着锂电池输出特性、使用寿命和安全性能等。

目前常用的SOC 估计方法分为2 种：一是根据锂电池输出参数（电流、电压）直接计算得到，如安时积分法、开路电压法等；二是基于锂电池模型并结合预测算法得到，如神经网络法、粒子滤波算法、卡尔曼滤波算法等。安时积分法需要获得精确的SOC初值，在初值未知的情况下估计误差大，不适用于实际车辆；开路电压法需要将放电后的锂电池搁置较长时间，不满足SOC估计的实时性要求；神经网络法需要大量不同工况下锂电池试验数据训练神经网络模型，模型精度与模型大小不可兼得，实际应用还存在一定困难；粒子滤波算法计算复杂，对硬件性能要求高；卡尔曼滤波算法是目前比较成熟且有效的一种方法，计算简单且精度高，适用于SOC 的实时估计。因此本文在卡尔曼滤波算法的基础上对锂电池SOC估计进行研究。

传统的卡尔曼滤波算法不适用于非线性系统，因此许多学者提出了扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）和无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）。EKF 利用泰勒级数展开将非线性系统转化为线性系统，忽略了高阶项导致其用于高度非线性系统时算法精度降低且雅可比矩阵计算复杂；UKF 通过无迹变换获得Sigma 点集，Sigma 点集通过非线性函数进行传递，再利用传递结果更新状态均值与系统协方差。UKF 在估算SOC 时，假定系统噪声为恒定的高斯白噪声。但在实际工作过程中，锂电池系统噪声特性复杂多变，具有不确定性。

针对UKF估计锂电池SOC时对不确定系统噪声估计精度低的问题，本文提出基于自适应无迹卡尔曼滤波（Adaptive Untracked Kalman Filter，AUKF）的估计算法，在SOC 估计的同时不断更新系统状态噪声协方差和测量噪声协方差，以提高算法的精度和稳定性。

2 建立等效电路模型

2.1 状态空间方程

等效电路模型是依据锂电池充放电试验数据并利用电压源、电阻、电容等电子元件而建立的模型。等效电路模型包括内阻等效（Rint）模型、戴维南（Thevenin）模型、新一代汽车合作伙伴计划（Partnership for a New Generation of Vehicles，PNGV）模型、非线性等效（General Nonlinear，GNL）模型等。

综合考虑模型参数的计算难易程度与模型精度，本文选择Thevenin模型，并考虑到模型需要充分反映锂电池充放电特性，在Thevenin 模型基础上增加1 个RC 网络以提高模型精度，等效电路模型如图1所示。

图1 二阶RC等效电路模型

图1中：为锂电池开路电压；为欧姆内阻；、分别为电化学极化内阻和浓差极化内阻；、分别为电化学极化电容和浓差极化电容；、分别为电化学极化电压和浓差极化电压；为输出电压；为负载电流。电路物理量描述为：

式中，(0)、(0)分别为初始的电化学极化电压和初始的浓差极化电压；=、=分别为电化学极化时间常数和浓差极化时间常数。

利用卡尔曼滤波估计SOC时，要将锂电池系统模型离散化，以SOC 与2 个极化电压作为系统状态变量，电流作为输入变量。根据安时积分法和式（1）得到锂电池系统模型离散化状态方程：

式中，为时刻锂电池的SOC；为电流采样周期；为库伦效率，与锂电池工作温度、循环次数和放电倍率有关；为额定容量。

2.2 模型参数辨识

本文锂电池试验平台由Neware BTS8000 电池检测设备、多功能夹具、恒温恒湿试验箱和控制电脑组成。试验对象为N18650CK三元锂电池，其部分性能参数如表1所示。

表1 锂电池性能参数

为获得锂电池开路电压以及等效电路模型中参数与SOC的函数关系，需对锂电池进行混合脉冲功率特性（Hybrid Pulse Power Characteristic，HPPC）试验，试验流程如图2所示，部分试验数据如图3所示。

图2 锂电池充放电试验流程

图3 锂电池部分充放电试验数据

根据上述试验，获得不同SOC状态下对应的开路电压，利用MATLAB 对试验数据进行多项式拟合，结果如图4所示，所得到的六阶多项式拟合函数为：

图4 开路电压与SOC的函数拟合曲线

系统参数辨识中，递推最小二乘法因编程简单、收敛速度快、计算量小等优点被广泛使用。与最小二乘法相比，递推最小二乘法利用当前时刻试验数据和上一时刻辨识参数直接对当前时刻辨识参数进行修正，用于在线参数辨识时可减小计算量，更适用于锂电池SOC 的在线实时估计，但是递推最小二乘法存在“数据饱和”问题，即旧数据的堆积导致递推结果不能反映新数据的特性。故本文采用带遗忘因子的递推最小二乘（Forgetting Factor Recursive Least Square，FFRLS）算法辨识锂电池模型中的参数。加入遗忘因子可以加强新数据的特性，逐渐削弱旧数据的作用，在一定程度上解决了数据饱和问题。FFRLS算法公式为：

锂电池等效电路模型拉普拉斯方程与传递函数为：

式中，()为系统传递函数；为拉普拉斯算子。

双线性变换公式为：

式中，为域变量。

利用式（7）对式（6）进行离散化并转化为差分方程：

式中，～为待定系数。

将()转化为矩阵形式：

根据式（6）、式（8）可得到锂电池模型参数计算公式：

利用上述公式和HPPC试验数据，可辨识出等效电路模型参数。如图5所示为荷电状态=1时辨识参数变化过程。

分析图5 可知，FFRLS 在辨识开始阶段，模型参数变化较大，这是因为所设置的参数初值误差大，随着算法迭代次数增加，模型各参数逐渐趋于稳定。其中<，<，表明电化学极化时间常数小于浓差极化时间常数，满足锂电池在放电过程中电化学极化响应快于浓差极化响应的特性。

图5 SSOC=1时参数变化曲线

不同SOC 辨识结果如表2 所示，根据参数辨识结果，利用MATLAB 可拟合出各参数与SOC 的函数关系。

表2 等效电路模型参数表

2.3 模型验证

本文利用脉冲放电试验验证二阶RC等效电路模型与参数辨识的精确度。试验电流与电压曲线如图6 所示，模型输出电压与试验电压的误差如图7所示。

图6 脉冲放电曲线

分析图7可知，模型输出电压与试验电压变化趋势一致，随着放电的进行，模型输出电压误差逐渐增大，这是放电末期等效电路模型不能很好地表征锂电池内部实际的电化学反应导致的。计算误差结果可知，模型输出电压与试验电压相比，平均误差为0.89%，最大误差在3%以内，所建立的模型具有较高精度，能反映锂电池输出特性。

图7 试验电压与模型电压误差曲线

3 锂电池SOC估算

锂电池为高度非线性系统，输出特性不仅与自身状态（放电倍率、老化程度等）有关，还与外界环境（温度、湿度等）有关。EFK的泰勒级数展开过程中忽略了高阶项的影响，降低了SOC估计精度。UKF通过无迹变换对非线性函数的概率分布进行近似处理，保证了对高度非线性系统的预测精度。锂电池系统真实状态方程与观测方程为：

式中，()为式（2）所述系统状态变量；()为观测变量（输出电压）；()为输入变量（电流）；为锂电池状态方程函数；为观测方程函数；()、()分别为状态噪声和观测噪声，均值均为零；()、()分别为()、()的协方差。

由于UKF 忽略了系统噪声特性的变化，影响了估计精度，因此将UKF 与Sage-Husa 自适应算法结合成AUKF，从而考虑系统噪声协方差的变化。AUKF 估算锂电池SOC流程如下：

a.初始化状态变量均值与协方差：

b.产生Sigma点：

c.计算Sigma点的权值：

d.预测Sigma点：

式中，X(+1|)为(2+1)个预测Sigma点。

e.预测系统状态变量及协方差：

f.再次进行无迹变换，产生新的Sigma点：

g.预测观测变量及其均值：

h.计算卡尔曼增益：

i.更新状态变量与变量协方差：

j.更新状态噪声协方差与观测噪声：

式中，()为自适应因子；()为残差；为遗忘因子，通常0.95≤≤1，本文取=0.97。

式（21）可以保证AUKF估计SOC时，实时更新锂电池系统状态噪声与观测噪声特性，进而提高算法估计精度和稳定性。但如果状态变量协方差为非对称正定矩阵，则无法进行楚列斯基（Cholesky）分解，导致算法无法估计，考虑到状态噪声协方差和观测噪声协方差会影响系统状态协方差且两者都为互不相关的高斯白噪声，协方差矩阵均为对角矩阵，因此对状态噪声协方差与观测噪声协方差进行修正：

4 结果验证与分析

将FFRLS 辨识所得参数分别结合UKF 和AUKF 估计锂电池SOC，其主要步骤如图8所示。锂电池在实际使用过程中，工作情况复杂，因此使用美国城市循环（Urban Dynamometer Driving Schedule，UDDS）工况对算法进行验证。本文所用锂电池最大放电电流为9 A，最大充电电流为3 A，将工况电流缩放到锂电池安全适用范围内。考虑到过度放电会损伤锂电池甚至使其直接报废，因此将UDDS 工况循环13 次后停止放电，假设放电电流方向为正，仿真电流如图9所示。

图8 锂电池SOC估计流程

图9 仿真电流数据

实际情况下SOC 初值未知，本文将算法的SOC 初值设置为0.8，将安时积分法计算所得SOC 设为参考值。UKF和AUKF的SOC估计结果如图10所示，SOC估计误差如图11 所示。分析图10、图11 可知，UKF 和AUKF对锂电池UDDS放电工况下的SOC估计都有着很好的跟踪效果，在初值不准确的情况下，均能快速收敛于参考值并且AUKF 的波动情况明显小于UKF。这是因为UKF忽略了系统噪声特性的变化，而AUKF能实时更新系统噪声特性并利用噪声协方差的估计结果修正SOC估计值，从而减小了估计误差。

图10 参考曲线与算法估计曲线

图11 算法估计误差曲线

本文利用最大相对误差和均方根误差对比UKF和AUKF 的算法性能，最大相对误差和均方根误差越小，代表算法对SOC估计效果越好。不考虑前800 s算法收敛过程，两者的误差计算结果如表3所示。

表3 UKF和AUKF误差计算结果

分析表3 可知，AUKF 的最大相对误差与均方根误差均小于UKF。相比于UKF，AUKF最大相对误差减小了1.62 百分点，均方根误差减小了0.001 3，AUKF 算法对锂电池SOC估计结果更好。

5 结束语

本文基于锂电池二阶RC 等效电路模型，采用FFRLS参数辨识的方法得到锂电池模型中的各参数，利用MATLAB将UKF与AUKF进行对比仿真。结果表明，锂电池在噪声复杂工况下工作时，相比于UKF，AUKF的最大相对误差减小了1.62百分点，均方根误差减小了0.001 3。AUKF能实时调整系统噪声统计特性，因此具有更高的精度和更好的稳定性。