赵 越，李 赞，李 冰，路晓菊，郝本建

(1.西安电子科技大学 通信工程学院，陕西 西安 710071；2.中国人民解放军31007部队，北京 100000；3.中国人民解放军69036部队，新疆维吾尔自治区 乌鲁木齐 830000)

电磁频谱监测对于国家频谱规划、无线频谱资源管理、非法用频管控等具有重要意义。在频谱监测领域，信号源被动定位是将电磁频谱信号与其空间位置直接关联的技术手段，一直是国内外学者的研究热点。在频谱监测中，各个监测节点采集信号数据并回传至融合处理中心，后者从辐射信号中提取出位置关联参数，如到达时间(Time Of Arrival，TOA)、到达时间差(Time Difference Of Arrival，TDOA)、到达角度(Angle Of Arrival，AOA)等[1]，再结合各节点准确的空间位置信息，构建方程组求解信号源的空间位置。在上述的定位参数中，TOA需要收发双方的时钟同步，难以应用于非合作信号源的被动定位；AOA需要监测节点具备测向功能，硬件成本较大；因此，基于TDOA的被动定位体制在频谱监测领域中被广泛应用。

基于TDOA参数的无源定位体制下，各个监测节点相对于信号源的空间几何构型，决定对于信号源的空间分辨率，继而对信号源定位精度有较大影响。当不考虑监测系统的系统误差且给定TDOA测量误差强度时，监测网络的空间几何构型直接决定了对于信号源的定位误差理论界限[2]。因而，优化各个监测节点的空间位置，是提升对信号源定位精度的有效手段。

频谱监测网络中的定位节点包括固定式节点和机动式节点，前者负责对信号源的常态化定位，后者则负责灵活补盲或提升特定目标的定位精度。因而，定位网络的空间几何构型优化，可以分为固定式节点的优化选择、机动式节点的优化部署、存在固定式节点时机动式节点的优化部署。国内外学者针对定位网络的空间几何构型优化做了大量工作。在基于TDOA参数的定位网络中，文献[3]研究了固定式节点的优化选择算法，通过将已选节点的克拉美罗界(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)最小化来寻求最优的定位节点选择方案。文献[4]研究了二维TDOA定位场景中的最优节点部署策略，通过柯西不等式寻求CRLB的松弛下界，寻找柯西不等式中等式成立的充要条件，从而确定最优定位节点部署方案。通过严谨的数学推导，文献[4]认为，二维TDOA定位场景中最优的节点部署方案应是等角度部署。文献[5]研究了三维TDOA定位场景中的节点部署策略，仍然是将CRLB视为目标函数，但由于考虑不规则部署区域约束、三维空间角度的强耦合等因素，该文献采用遗传算法来求解定位节点的部署方案。此外，针对固定式节点与机动式节点共存的定位网络，文献[6]提出了“部分可控网络”的概念，并研究了基于TOA参数的定位体制下的机动式节点优化部署方案。由于不同定位体制下的定位原理与定位误差界限是不同的，文献[6]提出的节点部署算法难以直接推广于基于TDOA参数的定位网络。

在以上提及的定位网络空间几何构型优化中，CRLB均被视为信号源定位精度的数学表征，其计算过程中需要利用信号源的真实位置，以及准确的TDOA测量误差的协方差矩阵[7]。然而，在实际的定位场景中，信号源的位置是无法准确已知的，TDOA测量误差强度也受接收端噪声起伏、传输距离等因素影响而变得未知。为了解决上述两种不确定因素对于定位网络空间构型优化的影响，文献[8-10]将TDOA测量误差的方差归一化，从而忽略测量误差对于节点部署或者节点选择的影响。另一方面，由于缺乏信号源真实位置信息，文献[11]利用信号源粗略估计位置的CRLB代替真实的CRLB，继而构建节点选择优化问题。文献[12]则设置了定位精度阈值，将信号源所在区域中满足精度阈值的子区域大小视为优化目标，继而构建节点优化部署问题。然而，将TDOA测量误差归一化处理，或是将粗估计位置的CRLB视为优化目标函数，都会引入不确定性的误差，导致对于真实信号源的定位精度随着不确定性误差的增大而逐渐恶化。

针对以上问题，文中研究面向多源时差定位的鲁棒节点部署算法，主要工作包括：① 对固定式节点、机动式节点、多信号源共存的基于TDOA参数的定位场景进行了建模；② 描述了节点部署时面临的两种不确定因素，即信号源置信区域和等效TOA测量误差的方差不确定性，并推导了加权平均最差CRLB(WAW-CRLB)作为定位精度的鲁棒数学表征；③ 构建了以WAW-CRLB为目标函数的鲁棒节点部署优化问题，并提出遗传算法进行求解；④ 利用计算机仿真对所提鲁棒优化算法进行验证与分析。

1 系统模型

1.1 多源定位场景

图1所示为固定式与机动式定位节点共存的多源定位示意图，包括M个固定式节点、N个机动式节点和U个电磁辐射信号源。M个固定式节点已经部署，可实现覆盖区域内的常态化信号感知与定位，其位置无法调整；N个机动式节点是未部署的，可以按照信号源的位置而自适应变化，通过调整空间位置实现不同的定位任务，并满足各异的定位精度需求。假设各信号源所处频段均位于定位节点的覆盖频段内，即各节点均能接收到全部信号源的信号。

图1 固定式与机动式定位节点共存的多源定位示意图

在二维笛卡尔坐标系中，全部Z=M+N定位节点的空间位置坐标为

si=(si，x，si，y)T，i=1，2，…，Z，

(1)

其中，序号i=1，2，…，M表示固定式节点；序号i=M+1，M+2，…，Z对应的是机动式节点。定义固定式定位节点集合和机动式定位节点集合分别为

sI={s1，s2，…，sM}，sII={sM+1，sM+2，…，sM+N} 。

(2)

如图1所示，sII中的机动式节点只能部署于区域S内。此外，U个信号源的真实空间位置坐标为

uk=(uk，x，uk，y)T，k=1，2，…，U。

(3)

1.2 时差定位模型

以信号源uk为例，描述各个定位节点对其进行TDOA测量时的估计模型及误差分布。信号源uk的信号辐射至定位节点si的传输时间，即TOA为

(4)

其中，c为电磁波的传播速度，di，k为信号源uk和传感器si之间的距离，‖·‖2为欧氏距离。

在进行无源定位时，各定位节点将数据回传至融合处理中心，后者执行TDOA测量及目标位置估计。无论是针对时域连续的通信信号，还是针对时域离散的脉冲信号，对于TDOA测量的精度都受两个接收节点处的信噪比影响。因此，可以用单路径的等效TOA来分析研究TDOA的测量误差模型。

(5)

(6)

(7)

(8)

其中，diag{x}表示构建x为对角元素的矩阵，IZ-1为维度(Z-1)×1的矢量。

1.3 不确定性模型

1.3.1 信号源的置信区域

1.3.2 等效TOA测量误差的方差不确定性

2 定位精度的数学表征

2.1 克拉美罗下界(CRLB)

基于TDOA参数的无源定位，实质上就是从信号源位置关联参数(即TDOA测量值)中，估计出信号源的空间位置。作为任何无偏估计的方差下界，CRLB定义为费舍尔信息矩阵(Fisher Information Matrix，FIM)的逆矩阵，已在定位问题中被广泛地作为定位精度的数学表征[7]。

对于信号源uk，全部Z个定位节点参与定位时的CRLB，即C(uk)可表示为

(9)

2.2 加权平均最差克拉美罗下界(WAW-CRLB)

CRLB定义了信号源位置估计精度的理论下界，与所采用的信号源位置估计算法无关，因此被广泛用于评估定位算法的优劣。正因为CRLB是定位网络的本质特性，在定位网络的空间几何构型的相关研究中，CRLB往往被视为目标函数来衡量信号源定位精度。然而在实际中，信号源的真实位置、等效TOA测量误差的方差都无法准确已知，导致式(9)中信号源的真实CRLB也是无从得知的。下面仍以uk为例，给出存在两种不确定因素时，定位精度的鲁棒数学表征。

2.2.1 最差CRLB

(10)

2.2.2 平均最差CRLB

在二维或三维近场定位中，定位节点对于信号源的空间分辨率较高，无法在信号源置信区域内寻找到一点，使得无论定位节点位置如何变化时，真实信号源的定位误差绝对小于这一点的定位误差。因此，可采用概率论的思想，在置信区域内随机采样，并将全部采样点的W-CRLB进行平均运算，作为衡量置信区域定位精度的数学表征，以此保证描述潜在信号源定位精度的鲁棒性。

(11)

2.2.3 加权平均最差CRLB

当置信区域内信号源的分布规律未知时，可以使用均匀分布进行采样，此时在计算AW-CRLB时，每个采样点可视为等概率的。若在执行当前时刻TDOA定位过程之前，通过其他定位方式或额外的TDOA定位周期，可给出信号源位置的粗略估计，则可在1.3.1节提及的置信区域内按照高斯分布进行采样。为确保先验位置信息的充分利用，距离粗估计位置越近的采样点，权值应当越大。

(12)

(13)

3 鲁棒节点部署问题构建与求解

针对多个特定目标进行定位时，仅依靠固定式节点无法确保较好的定位精度，且无法灵活地调整节点位置，因而需要部署若干机动式节点，与固定式节点一起组成全新的定位网络，从而实现对于信号源的高精度定位。围绕这一目标，本节构建面向多源的鲁棒节点部署优化问题，并采用遗传算法进行求解。

式(13)给出了全部Z个定位节点都用于测量单个信号源uk时的WAW-CRLB。面向多源定位的节点部署问题的目标函数，应为多个信号源WAW-CRLB的平均值，即

(14)

在此，不考虑各信号源的重要性排序，因此上式Cwaw(uk)之前不存在乘性因子作为权值。

在约束条件方面，对机动式节点进行部署时，应确保全部机动式节点位于部署区域S内，即

si∈S，i=M+1，M+2，…，M+N。

(15)

综上，鲁棒节点部署优化问题可构建为

(16)

在优化问题P中，待求解的决策变量是各个机动式定位节点的空间位置矢量sII。显然，目标函数关于决策变量sII是非凸的，约束条件中的S往往也是非凸定义域，因此难以直接推导出P的理论闭式解。

遗传算法是一种模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的数值算法，已广泛用于车辆路径规划[14]、边缘计算任务调度[15]等复杂非线性优化问题。遗传算法将非凸优化问题抽象为生物进化过程，首先生成包含若干个“个体”的初始“种群”，计算每个“个体”对于“环境”的适应度，经过“选择”“交叉”“突变”3个核心步骤，使得“种群”对于“环境”的适应度不断提高，并在若干次迭代后选取最优个体作为问题的解。针对优化问题P，可将决策变量sII视为“个体”，R视为“个体”的适应度，约束条件则视为“个体”的存在区域，经过有限次数的迭代后可获得该问题的近似最优解。采用伪代码的形式，给出遗传算法对于优化问题P的求解过程：

初始化

Np、L、Lmax分别为“种群规模”，“进化”次数，最大“进化”次数(终止条件)；

SL={(sII)1，(sII)2，…，(sII)Np}∈S在定义域S内随机选取Np个sII，组成初始“种群”。

函数定义

fitness(sII) 计算“个体”sII的适应度函数，即式(14)中的R；

select(SL) 对“种群”进行“选择”操作，即“适者生存”；

crossover(SL) 对“种群”中的“个体”进行“交叉”操作，生成新“个体”，维持“种群规模”；

mutation(SL) 对“种群”中的“个体”进行“变异”操作，产生具有新“基因”的“个体”。

主循环

whileL

fori=1，2，…，Np

fitness_value=fitness((sII)i)；计算当前“种群”中全部“个体”的适应度；

end

SL+1=mutation(crossover(select(SL)))； 获得下一次迭代的“种群”；

L=L+1； 更新迭代指示符；

end while

输出

图2给出了面向多源时差定位的鲁棒节点部署流程框图，在获得信号源位置粗估计的基础上，通过对置信区域采样获取多信号源的WAW-CRLB，并以此为目标函数构建鲁棒优化问题，继而采取遗传算法求解得到机动式节点的最优部署位置，最终实现对于信号源的精确定位。

图2 面向多源时差定位的鲁棒节点部署流程框图

4 仿真分析

4.1 多源定位仿真场景构建

构建二维定位场景如图3(a)所示，其中M=4个固定式定位节点分别位于边长为10 km的正方形区域的顶角上，位置坐标分别为s1=[0，0]Tkm，s2=[0，10]Tkm，s3=[10，10]Tkm，s4=[10，0]Tkm；存在U=3个信号源，分别位于u1=(2，6)Tkm，u2=(4，4)Tkm，u3=(6，2)Tkm；另有N=5个机动式节点，其部署区域S={A/N}。A是边长为10 km的正方形区域，“/”表示集合相减，N表示不可部署机动式节点的区域，所覆盖范围是以(4，4)Tkm为圆心、半径为3 km的圆形区域。

(a) 多源定位场景示意图

4.2 对比算法

为了验证所提的鲁棒节点部署算法，采用以下两种算法作为对比。

(2) 随机部署算法。在部署区域S内随机的部署N个机动式定位节点。需要说明的是，随机部署算法与信号源的位置、粗估计位置、等效TOA的测量方差等均无关系，因而可作为基准算法。

4.3 所提算法鲁棒性验证

在对比不同节点部署算法的性能时，定位精度的数学表征应当是等效TOA测量误差分布特性准确已知的情况下，定位网络对于各个信号源真实位置的CRLB，以及多个信号源真实位置CRLB的平均值。它能够反映出存在不确定因素时，不同的节点部署算法对于真实信号源的理论定位精度。

图4所示为机动式节点部署后多源定位精度随等效ROA测量值的参考标准差变化曲线，为便于表示，坐标横轴为等效ROA测量值的参考标准差cσ0。图4(a)和图4(b)为不同的机动式节点部署方式下，定位网络对于多个信号源的平均CRLB变化曲线图，以及定位网络对于单个信号源的CRLB变化曲线图。由图可知，在两种不确定性存在的情况下，所提鲁棒节点部署算法的性能优于非鲁棒遗传算法，且优于不考虑不确定因素的随机部署算法。当cσ0为0.02、δi，k等于1时，按照所提算法部署节点时对于多个信号源的平均定位误差，比非鲁棒部署算法小7.1 m，比随机部署算法小33.5 m。多源定位精度的提升也体现在对于每个信号源定位精度的提升，具体数值如图4(b)所示。

(a) 多源平均定位精度变化曲线图

4.4 机动式节点个数对定位精度的影响分析

进一步分析新增部署的机动式定位节点个数对各个信号源定位精度的影响。设置等效TOA测量值的参考标准差σ0为0.01/c，机动式节点的个数N由1递增至10，其他参数的取值与4.3节的相同。

(a) 多源平均定位精度变化曲线图

机动式节点部署后多源定位精度随机动式定位节点的个数变化曲线如图5所示。由图5可知，随着部署的机动式节点个数增多，定位网络对于信号源的定位精度越好。以所提鲁棒部署算法为例，部署10个机动式节点时的定位误差比部署1个机动式节点时的定位误差降低57.5 m。此外，无论部署多少个机动式节点，所提鲁棒部署算法都能够获得优于非鲁棒部署算法与随机部署算法的定位性能，即多个信号源的平均CRLB更小，且任意一个信号源的CRLB也更小。

5 结束语

针对多源时差定位场景中的机动式节点部署问题，笔者提出存在信号源不确定区域、TDOA测量误差不确定区间时的鲁棒节点部署框架。笔者首先提出WAW-CRLB来鲁棒地衡量存在不确定因素时的信号源定位精度，其次构建节点部署优化问题并采用遗传算法进行求解。仿真结果表明，随着多种不确定性的增加，所提鲁棒部署算法逐渐优于两种非鲁棒的对比算法，并分别将定位精度提升7.1 m与33.5 m。另外，仿真结果还表明，随着机动式节点个数的增加，多源定位精度将大幅提升。文中所提出的鲁棒节点部署技术可支撑电磁频谱监测领域的干扰源定位、频谱动态规划等应用。