张榆红，张益鑫，张 超，包军民

(西安工程大学 电子信息学院，陕西 西安 710048)

线性调频(Liner Frequency Modulation，LFM)信号广泛应用于雷达、通信、声纳和生物医学等领域，是一种低截获概率雷达非平稳信号。同时，线性调频信号还可以表征多种频率时变特性复杂的其他信号，其检测和参数估计具有重大的意义[1]。迄今为止，已有很多国内外学者提出了一些有效的检测与估计方法。其中，极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation，MLE)方法占有重要地位，其估计值精度高，可以逼近克拉美罗(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)[2]界，但由于要优化非线性代价函数，其运算复杂度也高。以Wigner-Ville分布(Wigner-Ville Distribution，WVD)[3]和短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform，STFT)[4]为代表的常规线性时频分析方法中，短时傅里叶变换是最早提出的时频分析方法，其主要原理是通过加窗来处理观测信号，对窗内的信号进行傅里叶变换，该方法虽然能够避免交叉项的干扰，但是在低信噪比下性能严重下降；WVD的主要原理是对信号相关函数进行某种线性变换，该类方法具有理想的分辨率和高能量聚集性，但是在分析多分量线性调频信号时会出现严重的交叉项。联合WVD和Hough变换得到的WHT(Wigner-ville Hough Transform)[5-6]能够降低交叉项的影响，但是不能完全消除其影响，且计算量巨大，不利于工程上的应用。小波变换(Wavelet Transform，WT)[7]属于多分辨率分析方法，与短时傅里叶变换不同的是，它可以随着信号的变化自动调节窗的宽度，但是由于小波基的选取太难，并且不同的小波基会有不同的分析结果，所以小波变换的实时性能比较差。分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform，FrFT)[8]是在傅里叶变换的基础上提出的新理论，其实质是对线性调频信号进行不同阶数的分数阶傅里叶变换，然后根据信号能量聚集性的差异，利用峰值搜索来实现对目标信号的检测和参数估计，但是分数阶傅里叶变换需要进行二维搜索，计算量太大。

以上方法都是在高斯噪声背景下进行的。而在实际应用中，水声噪声、大气噪声、多用户干扰和雷达杂波等广泛的噪声类型都属于非高斯噪声，这些噪声类型都表现出明显的脉冲特性，可以用脉冲噪声来描述[9]。但在强脉冲噪声背景下，上述检测方法的性能严重下降。Alpha稳定分布噪声模型因具有显著的脉冲特性和厚重拖尾，可以很好地表征这类噪声。文献[10]把分数低阶协方差应用到了WHT和LV’s Distribution (LVD)，提出了FLOWHT(Fractional Lower Oder Wigner-ville Hough Transform)和FLOLVD(Fractional Lower Oder LV’s Distribution)方法。FLOLVD抑制脉冲噪声的能力优于FLOWHT，可以实现脉冲噪声环境中线性调频信号的参数估计，但是该方法依赖于噪声的先验知识，并且当分数低阶矩的数值不合适时，算法性能会严重下降。在文献[11]中提出了一种非线性变换函数A-NTA，并将其应用到LVD，能够很好地抑制强脉冲噪声，并且不依赖于噪声的先验知识，但是该方法仅是针对抑制强脉冲噪声，在脉冲噪声较弱或者当处于极低信噪比时，其检测性能严重下降，限制性比较大。在文献[12]中，使用Sigmoid函数处理的信号全部假设为实信号，在遇到复信号的时候，该方法就可能失效了。

针对以上问题，综合LVD[11]的原理及Sigmoid[13-14]的性质，笔者提出了一种新的方法——Sigmoid-LVD。首先用非线性函数Sigmoid处理原始信号，在处理信号后再除以信号的共轭；然后根据LVD的定义对Sigmoid变换的对称瞬时自相关函数沿时间轴t和时延轴τ进行二维傅里叶变换。通过仿真实验证明，该算法能够有效地抑制脉冲噪声，并且不依赖于噪声的先验知识，不仅能够准确地检测和估计线性调频信号的参数，而且能够实现对复信号的检测和参数估计，更利于在信号处理中的应用。

1 Alpha稳定分布噪声模型

常规的线性调频信号检测方法多基于高斯假设，但在实际应用中，水声噪声、大气噪声、多用户干扰和雷达杂波等通常表现为非高斯特性，而Alpha稳定分布模型可以很好地模拟这种类型的脉冲噪声。用特征函数表达式描述这种模型[15]：

φ(t)=exp{jat-γ|t|α[1+jβsgn(t)ω(t，α)]} ，

(1)

其中，

(2)

(3)

sgn(t)表示符号函数。

Alpha稳定分布可由特征指数α、分散系数γ、对称参数β和位置参数a确定。各参数所代表的含义如下：α为特征指数，用来度量噪声脉冲特性的强弱。α越小，表示分布的拖尾越厚。随着α值的增大，则越趋向于高斯过程。特别地，当α=2时，该分布为高斯分布；当α=1时，该分布为柯西分布。γ为分散系数，表征样本的分散程度，类似于高斯分布中的方差。β为对称参数，用于描述分布的斜度。当β=0时，一般称此分布为对称Alpha稳定分布，记为SαS。在SαS分布中，当1<α<2时，a表示其均值；当β=0，a=0时，该分布为标准SαS分布。

2 LVD原理

LVD无须搜索，也无须引入阶数和旋转角度等非物理属性。它在时间延迟瞬时自相关函数中引入了一个时延变量，并且重新对时间轴进行变标以消除线性频率偏移效应[9]。为了明确解释LVD的原理，将一个连续的无限时间多组分线性调频信号定义如下：

(4)

其中，Ai是第i个分量的幅值，fi为第i个分量的中心频率，ki表示第i个分量的调频斜率。

LVD算法能够将线性调频信号的物理特征在中心频率-调频斜率域直接显示出来。其对称参数瞬时自相关函数定义如下：

(5)

为了消除类似式(5)中的耦合，用Keystone变换[15]的思想来达到去耦合的目的。给定一个与(t，τ)相关的相位函数G，尺度变换函数如下：

(6)

其中，h是尺度因子。当h=1时，其性能达到最优。tn是尺度变换时间，tn=(τ+a)ht。将尺度变换函数应用到式(5)，得

(7)

式(7)表明，对于每个自项，由于引入了新的时间tn，时间变量t和时延变量τ之间的耦合消除了。对式(7)进行二维傅里叶变换，得到LVD的定义：

(8)

其中，F{·}是傅里叶变换算子。LVD与分数阶傅里叶变换(FrFT)等方法相比，不需要任何的搜索步骤，降低了计算难度和时间。

LVD中每个自项均能建模为理想的点扩展函数：

(9)

LVD通过增强自项可以对交叉项达到抑制且不会造成任何分辨率损失，表现为近似线性的性质，因此可得

(10)

下面分别给出无噪声、高斯噪声、Alpha噪声下单分量LVD的检测结果。信号参数为：幅度A=1，中心频率f0=30 Hz，调频斜率k=50 Hz/s，有效时间长度T=1 s，采样频率fs=512 Hz。从图1中可以看出，在无噪声的情况下LVD可以准确地检测和估计信号参数；在高斯噪声中，虽然受到噪声干扰，但是仍可以准确检测；在Alpha噪声下，由于受脉冲噪声的影响，算法失效。

(a)无噪声

3 基于Sigmoid-LVD的线性调频信号参数估计方法

3.1 Sigmoid-LVD算法原理

在Alpha稳定分布的噪声环境下，传统的线性调频信号检测方法的性能严重下降。在强脉冲和低信噪比下，信号湮没在噪声中，传统的方法无法有效地完成检测。为了解决该问题，笔者提出了一种新的方法——Sigmoid-LVD，不仅能够有效地抑制脉冲噪声，并且不依赖于噪声的先验知识，而且可以更加精确地检测和估计线性调频信号的参数。

在实际应用中，非线性函数可以用来抑制Alpha低阶稳定噪声，而理想的非线性变换函数应当具备以下两点[16-17]：(1)能够消除Alpha稳定分布噪声的影响；(2)不会对信号造成严重的失真。文献[16]采用了目前在人工神经网络中广泛应用的非线性函数Sigmoid。它的定义如下：

(11)

Sigmoid具有以下3个性质[16]：

(1) 如果s(t)是一个SαS过程，其中a=0，β=0，那么Sigmoid[s(t)]是概率密度函数中均值为零的对称分布。

(2) 如果s(t)是一个SαS过程，其中a=0，γ>0，则有‖Sigmoid[s(t)]‖α>0，而且当1<α≤2时，Sigmoid[s(t)]的平均值为零。

(3) 如果s(t)是一个SαS过程，其中a=0，1<α≤2，则Sigmoid[s(t)]是具有零均值的有限二阶矩(称为二阶矩过程)。

在以上3条性质的基础上，可以推出Sigmoid的性质4：假设S(t)=Sigmoid[s(t)]，则S(t)具有与s(t)相同的调制特性[17]。根据傅里叶变换的频移特性，证明过程如下：

证明 设s2(t)=s(ω0t)，可以得到S2(t)=Sigmoid[s2(t)]=Sigmoid[s(ω0t)]=S(ω0t)。

(12)

由上面的公式可得，s2(t)和s(t)之间的频移与S2(t)和S(t)之间的频移是相同的，并且随着参数ω0的变化，频移可以是任意的。因此可得，S(t)与s(t)有相同的调制特性，即线性调频信号经过Sigmoid函数处理后，其中心频率和调频斜率不发生改变。

把Sigmoid函数与LVD的定义结合，其对称瞬时自相关函数为

(13)

为了消除时间变量t和时延变量τ之间的耦合，把前文中的尺度变换时间tn和式(6)中的尺度变换函数应用到式(13)中，可得

(14)

对式(14)沿时间轴t和时延轴τ进行二维傅里叶变换，即为Sigmoid-LVD的定义。定义式为

(15)

3.2 参数估计方法

假设脉冲噪声环境下的线性调频信号为y(t)，则

y(t)=s(t)+n(t) ，

(16)

其中，s(t)为线性调频信号，n(t)为Alpha稳定分布噪声。信号经过Sigmoid函数处理后，即Sigmoid[y(t)]，再对其进行LVD变换，在中心频率-调频斜率域搜索峰值点即可完成参数估计。

在文献[12]中使用Sigmoid函数时，假设信号全为实信号，在遇到复信号时，其能力可能会失效。笔者利用Sigmoid函数的性质4，在参数ω0中进行改变。在进行仿真实验的时候，用Sigmoid函数处理信号后再除以它们的共轭，以此达到对复信号的参数估计。因为该运算包含在参数ω0中，根据性质4，其不会对信号造成失真。

4 仿真结果与分析

4.1 噪声抑制能力分析

4.1.1 不同脉冲噪声下对单分量线性调频信号的检测和参数估计性能分析

为了验证所提算法在强脉冲噪声下的检测性能，该实验分别在α=1.5和α=0.5的脉冲噪声环境下进行仿真分析。信号参数为：幅度A=1，中心频率f0=30 Hz，调频斜率k=50 Hz/s，有效时间长度T=1 s，采样频率fs=512 Hz，RGSNR=-8 dB。

实验结果如图2所示。

图2中的(a)、(b)和(c)分别表示α=1.5时，3种算法的检测结果。从图中可以看出FLOLVD和A-NAT-LVD受到噪声影响，有一些很小的伪峰干扰，但还是能够提取信号参数的，而Sigmoid-LVD明显受噪声影响较小，并且中心频率和调频斜率与实际值一样，证明在α=1.5和RGSNR=-8 dB的脉冲噪声下，Sigmoid-LVD要比 FLOLVD和A-NAT-LVD抑制噪声能力强。

图2中的(d)、(e)和(f)分别表示α=0.5时3种算法的检测结果。可以很明显地看出，FLOLVD湮没在噪声中，而A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD仍然能够准确地检测和估计目标参数，并且与实际值一致。从图2(d)～(f)可知，在强脉冲噪声环境下Sigmoid-LVD的检测能力超过FLOLVD，与A-NAT-LVD的效果基本一致。

4.1.2 不同广义信噪比下对单分量线性调频信号的检测和参数估计性能分析

为了验证所提算法在极低信噪比下的优越检测性能，在不同广义信噪比下进行仿真分析。设置脉冲强度α=0.5，除广义信噪比以外，其他信号参数与节4.1.1的实验相同。广义信噪比分别为RGSNR=-8 dB和RGSNR=-15 dB。图2中已经给出了RGSNR=-8 dB时3种算法的检测结果图，从图2中(d)、(e)和(f)可以看出FLOLVD湮没在噪声中，而A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD峰值点所对应的中心频率和调频斜率与实际值一致。由图2(d)可得，在α=0.5，RGSNR=-8 dB时，FLOLVD已经失效，所以以下实验不再给出RGSNR=-15 dB时FLOLVD的结果图。

图3描述了RGSNR=-15 dB时，Alpha稳定分布噪声下线性调频信号的A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的检测结果。从图中可以看出，A-NAT-LVD湮没在噪声中，而Sigmoid-LVD能够产生明显的尖峰，且与实际值相符。结合上节的实验和本实验可得，A-NAT-LVD仅是针对抑制强脉冲噪声，在脉冲比较弱的时候其检测能力降低。同时，在强脉冲中，处于极低信噪比的情况下，A-NAT-LVD的参数检测和估计能力也不如Sigmoid-LVD。综上可得，笔者所提的Sigmoid-LVD方法的抑制噪声能力比FLOLVD和A-NAT-LVD的强。

(a) A-NAT-LVD (RGSNR=-15 dB)

4.1.3 不同脉冲噪声下对双分量线性调频信号的检测和参数估计性能分析

为了验证所提算法对双分量线性调频信号的检测能力，对双分量线性调频信号进行了仿真分析。设置脉冲背景噪声α=1.5和α=0.5，以及RGSNR=-8 dB的Alpha稳定分布噪声。信号参数与节4.1.1的实验相同。图4描述了不同Alpha稳定分布噪声下双分量线性调频信号的检测结果。

(a) FLOLVD(α=1.5)

图4中(a)、(b)和(c)分别表示α=1.5，RGSNR=-8 dB时，双分量线性调频信号的FLOLVD、A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的检测结果。从图中可得3种算法都可以准确地进行参数估计，但是A-NAT-LVD中受到噪声影响产生一些伪峰。

图4中(d)、(e)和(f)分别表示α=0.5，RGSNR=-8 dB时双分量线性调频信号的FLOLVD、A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的检测结果。FLOLVD被湮没在噪声中，而A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD仍然能够检测出目标参数，并且中心频率和调频斜率与实际值一样。为了进一步验证所提算法的优越性能，增加了实验对比。由于在α=0.5和RGSNR=-8 dB条件下FLOLVD算法已经失效，所以增加了α=0.5，RGSNR=-15 dB 时A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的检测结果。如图4(g)和(h)所示，A-NAT-LVD湮没在噪声中，Sigmoid-LVD受到噪声影响有伪峰产生，但仍可进行参数估计。可见在双分量线性调频信号中，Sigmoid-LVD检测参数估计能力仍然要高于FLOLVD和A-NAT-LVD的。

4.2 算法估计性能分析

为了验证所提算法的检测和参数估计性能，该实验对3种算法进行了参数估计，给出了200次蒙特卡罗实验所得的中心频率和调频斜率估计值的平均值。表1中脉冲噪声α=1.5，RGSNR=-8 dB，表2中脉冲噪声α=0.5，RGSNR=-15 dB，其余信号参数与节4.1.1的实验相同。

从表1可以看出，在α=1.5的情况下，FLOLVD和Sigmoid-LVD能够准确地对信号参数进行估计，与实际值一致，而A-NAT-LVD受到噪声影响，其估计值有误差。

表1 -8 dB下不同算法对线性调频信号的参数估计值比较(α=1.5)

由于在α=0.5，RGSNR=-8 dB时，FLOLVD算法失效，所以表2中给出了α=0.5，RGSNR=-15 dB的情况下A-NAT-LVD和Sigmoid-LVD的估计值，可以得到Sigmoid-LVD的估计值要比A-NAT-LVD的估计值精确18%以上，再一次证明了A-NAT-LVD仅抑制强脉冲噪声，在脉冲噪声较弱的情况下，其参数估计能力下降；在强脉冲噪声下处于极低信噪比时，其参数估计能力也严重下降。综上，Sigmoid-LVD算法的参数估计能力要强于A-NAT-LVD。

表2 -15 dB下不同算法对线性调频信号的参数估计值比较(α=0.5)

为了进一步验证所提算法的检测性能和参数估计性能，分别在不同广义信噪比下和脉冲噪声下进行仿真分析。除了广义信噪比和脉冲噪声外，其他信号参数与节4.1.1的实验相同。图5中(a)和(b)是在α=1.5时不同广义信噪比下线性调频信号的中心频率和调频斜率的估计误差性能曲线，广义信噪比的区间设置为[-15 dB，5 dB]，步长为1，每个广义信噪比下都进行200次蒙特卡罗实验。从图5中可以看出，所提算法在[-15 dB，-12 dB]之间，随着广义信噪比的增大，均方根误差急剧地减小，在-12 dB时均方根误差为0。而A-NAT-LVD和FLOLVD的均方根误差虽然也随着广义信噪比的增大在下降，但是下降趋势不如Sigmoid-LVD，中心频率均方根误差在-10 dB时才为零，调频斜率均方根误差在-9 dB时为零。可见在参数相同的情况下，Sigmoid-LVD的抑制噪声能力要强于A-NAT-LVD和FLOLVD，并且在有误差的情况下所提算法的误差要小于A-NAT-LVD和FLOLVD。图5中(c)和(d)是当RGSNR=-8 dB时，不同脉冲强度下线性调频信号的中心频率和调频斜率的估计误差性能曲线，脉冲噪声的区间设置为[0.5，2.0]，步长为0.1，每个脉冲噪声下都进行200次蒙特卡罗实验。从图中可以得到所提算法在设置的脉冲噪声区间内均方根误差为零，可以准确地检测和估计线性调频信号的参数，而FLOLVD在[0.5，1.2]之间有误差，中心频率在α=1.2时误差减小为零，调频斜率在α=1.1时误差减小为零。A-NAT-LVD在α=1.4时开始产生误差，并且随着脉冲噪声的减弱，误差越来越大，可得其仅在强脉冲噪声下有效。从以上结果可得，Sigmoid-LVD的抑制噪声能力优于A-NAT-LVD和FLOLVD，在强脉冲噪声和极低信噪比下具有良好的鲁棒性。

(a) α=1.5时中心频率估计误差

5 结束语

该文提出了一种在脉冲噪声下对线性调频信号进行参数估计的新方法——Sigmoid-LVD。首先引入了LVD的定义，同时介绍了非线性函数Sigmoid的性质，并加以推导，依据此性质，用Sigmoid函数来处理原始信号，再除以信号的共轭；然后根据LVD的定义对Sigmoid变换的对称瞬时自相关函数沿时间轴t和时延轴τ进行二维傅里叶变换。仿真结果表明，Sigmoid-LVD不依赖于噪声的先验知识，能够很好地抑制脉冲噪声，在强脉冲噪声和极低信噪比下拥有更高的参数估计精度，同时还可以实现对复信号的参数估计，有利于在信号处理中的应用。