林勇

前几天勇哥的大学同学在沈阳新买了一套房子，买房本来是件开心的事，妻子却说楼层（12楼）太低，前楼挡光，抱怨不止.

其实，这种情形在日常生活中屡见不鲜，一提起高楼层我们就称赞“采光好”，一说到低楼层就抱怨“不见阳光”. 那么问题来了：到底几楼以上阳光才不会被挡呢？今天我们一起用数学建模的方法尝试解决生活中大多数人遇到过的这个问题.

问题分析

我们知道，太阳光可以看成是平行光线，楼房都是垂直于地面建造的，我们可以据此画出如图1所示的模拟图，想要知道几楼以上不挡光，其实就是求当阳光与地面所成的角最小时，乙楼在阳光下的投影落在甲楼的第几层上.

结合我们学过的三角函数及其应用的知识，可知要解决上述问题需要知道以下几个变量的数值：

变量1：两栋楼之间的距离;

变量2：乙楼房的高度;

变量3：楼房的层高;

变量4：阳光与沈阳当地的最小夹角.

经查找资料及咨询业内人士，勇哥得到相关信息：

（1）每层楼的建筑高度一般为3米左右;

（2）我国相关法规规定，楼高超过100米需要设置避难层，但这会增加楼房的建造成本，因此一般民用住宅楼不超过100米，故我们取楼房高度为100米（约33层）;

（3）楼间距一般为楼高的0.7倍，故我们取楼间距为70米;

（4）冬至这天，太阳直射南回归线（南纬23°26′，约为23.5°），此时阳光与我国所处的北半球的夹角最小，因此我们需要求出此时阳光与沈阳（约北纬42°）的地面夹角.

为此我们作出图2，设地球为标准的圆形，OA为沈阳当地楼房的铅垂线，BO为冬至时直射在南回归线的阳光，FC为赤道，DE为照射在沈阳的与BO平行的阳光，GH为沈阳所在位置与地球的切线（即地平线）.

我们首先需要解决如下问题：

已知：如图2，CF为[⊙]O的直径，∠BOC = 23.5°，∠AOC = 42°，GH为[⊙]O的切线，切点为E，若DE[⫽]BO，求∠DEH的大小.

解：∵∠BOC = 23.5°，∠AOC = 42°，

∴∠AOB = ∠BOC + ∠AOC = 65.5°，

∵DE[⫽]BO，∴∠AED = ∠AOB = 65.5°.

∵GH为[⊙]O的切线，切点为E，

∴∠AEH = 90°，∴∠DEH = ∠AEH - ∠AED = 24.5°.

即阳光与沈阳当地的最小夹角为24.5°.

至此，上面4个变量的数值我们已全部得到，据此可以建立数学模型来解答开篇提出的问题.

建立模型

如图3，已知AB，CD为两座高度均为100米的楼房，楼间距BD = 70米，CE为经过楼房CD的顶端射向楼房AB的阳光，若每层楼高3米，当太阳光线与水平地面的夹角为24.5°时，楼房AB几楼以上才不会被楼房CD的影子遮挡？（tan 24.5° ≈ 0.46）

解：如图3，作EF⊥CD于F，∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴四边形BEFD为矩形，∴BE = FD.

在Rt△CEF中，∠CEF = 24.5°，

∴CF = EF·tan∠CEF = 70 × tan 24.5° ≈ 70 × 0.46 = 32.2（米），

∴FD = CD - CF = 100 - 32.2 = 67.8（米），

∴BE = FD = 67.8米.

67.8 ÷ 3 + 1 = 23.6 ≈ 24（楼）.

即當太阳光线与水平地面的夹角为24.5°时，楼房AB的24楼及以上才不会被楼房CD的影子遮挡.

结果分析

由上述计算我们可以得出如下结论：

若沈阳某个楼盘的楼房均为33层（约100米），当其楼间距为70米时，在冬至这一天，24楼以上（包括24楼）才不会被前楼挡光. 因此勇哥同学妻子的担心是有道理的. 但冬至过后，随着阳光的直射点离开南回归线逐渐往北偏移，阳光与水平地面的夹角将变大，24楼以下也会接收到阳光，因此不必过分担心. 感兴趣的同学可以仿照上述方法计算一下夏至这天几楼会被挡光.

建模心得

由于条件所限，上述分析过程中我们所选取的数值均为理想状况.现实生活中，楼的层高、楼房的总高度、楼间距、楼房所在纬度等均会有所变化，同学们可以在实地测量后再进行计算.

数学建模是一种科学的思考方法，熟练掌握这种方法可以准确刻画并解决实际问题. 同学们要掌握数学建模方法，多观察、多思考，学会用数学眼光来思考问题.