中山市桂山中学(528463)蔡晓波

一、试题再现

图1

题目 (2021年八省高考适应性考试数学试题第20 题)北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如: 正四面体在每个顶点有3 个面角,每个面角是所以正四面体在各顶点的曲率为故其总曲率为4π.

(1)求四棱雉的总曲率;

(2)若多面体满足: 顶点数-棱数+面数=2,证明: 这类多面体的总曲率是常数.

评注该题以北京大兴国际机场为背景,考察学生对多面体几何特征以及数学建模能力的掌握.该题题目新颖,注重对学生理解能力、分析与建模能力的考察,有一定的灵活度与难度.

在进行探究之前,我们先进行如下约定:

约定在下文中,如无特别声明,我均假设一个多面体的顶点数为V,棱数为E,面数为F

二、解法探究

第1 问较为简单,相关解答不再赘述.下面着重对第2问进行探讨.

解法1每个面分别即为ni(i ∈[1,F])边形,则所有面角和为-2πF=π·2E-2πF=2π(E-F),则多面体的总曲率为2πV -2π(E-F)=4π.

评注该解法是网上流传的官方答案,解答过程十分简洁.实际上本题的突破口在于如何把该多面体所有面的内角和与顶点,棱数,面数找到关系.如果我们对该多面体的形状进行归类,那……