福建省晋江市平山中学 吴辉集

学生在遇到数学问题时，受到思维习惯等多种因素的影响，往往会从正面角度出发，探索解决问题的方法，这固然有一定的意义；但有时在特定的题目条件下，借助逆向思维解决问题，往往可以使复杂的问题简单化，帮助学生取得意想不到的效果，使解题过程更高效。为提升学生的数学学习水平，促进学生核心素养的健全发展，教师应重视在课堂教学中培育学生的逆向思维能力，为学生的高效解题奠基。

一、培养学生逆向思维能力的意义

逆向思维能力在数学课堂中更多地体现为从常规解题思路的对立面出发，对问题展开思考与分析，对定理、定义、公式等进行反向利用，摆脱思维定式的束缚，快速、准确地解答问题。长远看来，在数学课堂中培育学生的逆向思维能力，具有如下几方面的积极意义。

（一）有利于扩展学生的思维空间

初中数学教材中，有着双向性特征的知识是十分丰富的，如定理与逆定理的转换就体现了鲜明的双向性特点。在学习、应用数学公式时，学生总习惯从公式的左边出发，向公式的右边展开思索与应用，而教师在平时也未重视做好对学生逆向思维能力的引导，久而久之造成学生对数学公式形成了严重的思维定式，限制了学生的思维空间，不利于学生的持续成长。为解决这一问题，教师应强化对学生逆向思维能力的培养，从多元化的角度出发，引导学生形成对公式或定理的新理解、新思索，引领学生换角度思索数学问题，找到更为高效的解题方法。

（二）有益于加深学生的知识学习

培育学生的逆向思维能力，有利于加深学生对教材基础知识的理解，提升学生的学习水平，促进学生数学素养的发展。如在教学“正比例函数”与“反比例函数”基础知识时，教师可引领学生借助逆向思维思索基础知识，将反比例函数视作正比例函数的逆向运算来理解，同时关注函数自变量、常数值k的要求，更为全面、准确地理解两种函数，深化对数学知识的学习，取得理想的学习成效。

（三）有助于拓展学生的解题思路

在解题过程中，学生常会遇到如下情况：对于一些条件相对复杂的问题，用正向思维进行思索，往往无法很好地把握题目给出的条件进行简明扼要的计算，解题过程十分烦琐，出错可能性很高。此时教师就应引导学生利用逆向思维，从题目的反方向出发，使整个问题大大简化，高效解决问题。因此在教学过程中，教师应有针对性地培养学生“从右到左”的思维能力，引导学生克服思维定式，发掘解题突破口，快速、准确地解决问题，促进学生解题能力的持续提升。

二、培养学生逆向思维能力的策略

（一）做好备课工作，引领学生的逆向思维能力

在教学改革深入推进、素质教育全面开展的时代背景下，“学生是课堂的主体，教师是课堂的组织者、参与者与引导者”的教学理念，逐渐得到了广大数学教学工作者的认可。为更好地发挥“课堂引导者”的作用，数学教师务必重视做好备课工作，结合学生的实际情况，设计一系列有利于培养学生逆向思维能力的教学活动、教学素材，为课堂教学的顺利开展打下良好的基础。实践表明，现阶段初中生对“逆向思维能力”普遍缺乏正确认识，很多学生对“逆向”的理解都十分片面，认为所谓“逆向思维”，就是指用反向的计算方法计算数学题目。基于此，建议教师在备课阶段，为学生设计一些多元化的逆向思维问题，引导学生形成对逆向思维的全面、正确认知。

例如，教师可结合学生的学习情况，在备课过程中，有针对性地归纳学生集中反映的数学问题，在课堂中，引导学生从“反面”出发对问题展开剖析。如很多学生对如下概率题抱有疑惑：“箱子中装有1个红球与2个蓝球，除颜色外其余都相同，现在从盒子中随机取出两球，颜色恰好为一红一蓝的概率为多少？”对此，教师可从反向角度思考这道题，在课堂中引领学生借助逆向思维进行解题，即先算出两个球都是蓝色的概率，再用1减去这个概率，即可得出正确答案。显然，相较于常规解题方法，利用此种方法进行解题效率更高。若对题目稍做变形，条件变得复杂后，学生依然可借助逆向思维，较为直观地梳理清楚题目蕴藏的条件，实现高效解题，久而久之，学生自然能够对逆向思维能力的内涵产生更为深刻的认知。在教学一些复杂的几何证明题时，教师尤其应从备课阶段入手，强化对学生思维的引导，让学生掌握“执果索因”与“由因导果”的思维方法，提升学生的解题能力，促进学生数学素养的生成发展。

（二）把握教学环节，训练学生的逆向思维能力

课堂教学环节是数学教师训练学生逆向思维能力的主阵地。为提升逆向思维能力训练效果，教师应把握好课堂教学环节，为学生设计一系列别出心裁的数学学习活动，同时把控好课堂节奏，引领学生的逆向思维向着更为纵深的方向发展，取得更好的教学效果。从现阶段看来，在课堂教学过程中对学生逆向思维能力的培养，更多体现于指引学生应用“反证法”解题，即从待证结论的反面出发，推出一个矛盾的结论，从而否定要证结论的反面、肯定要证结论的一种思维方法。教师可在教学环节中，有意识地为学生渗透此种思维方法，指引学生从多元化视角出发，更为全面、更为细致地看待数学问题，摒除思维盲点，实现高效解题。

如在学习函数相关知识内容时，学生常会遇到这样的数学题：“m取何实数，可保证抛物线y=-x2+(m-2)x+m-5的顶点不在第四象限？”若从正面角度出发，结合题目所给条件思考这一问题，取值范围是十分广泛的，顶点可位于第一、第二、第三象限及坐标轴上，在解答时逐一进行讨论是十分复杂的。但使用反证法进行解题就可取得不错的解题效果。教师可指引学生利用逆向思维进行思考：设抛物线顶点位于第四象限，可用顶点坐标公式求出m的取值范围，之后可通过求m取值范围的补集，得出题目答案，即m≤2或m≥4。教师可将函数图像为同学们绘制出来，更为直观、生动地展示逆向解题思路，增强学生对逆向思维能力的认知，达到教学目的。

（三）重视概念教学，培养学生的逆向思维能力

从现阶段看来，学生的逆向思维能力普遍发展得较为落后，究其原因是学生的数学基础不够扎实，因此很难真正掌握这种层次稍高的思维方法。毋庸置疑，如果将数学学科视作一座大厦，那么数学概念无疑是构成这座大厦的基石，缺乏对数学概念的正确理解，学生的逆向思维能力就如同无本之木，难以真正形成。如，很多学生在解答带有互逆性质的基础概念问题时，都会忽略概念间的相互转化，进而忽略题目蕴藏的重要信息，造成解题思路与题目要求相差甚远。基于此，建议教师在概念教学中，重视培育学生的逆向思维能力，引导学生从正向、逆向、正向与逆向相结合等多元化的角度出发，分析数学概念中蕴藏的互逆因素，形成对数学概念更为全面、更为灵活的认知，为解题做好扎实的铺垫。教师可活用目前在数学课堂中十分流行的小组探究教学方法，鼓励学生借助逆向思维能力，针对数学概念展开自主探究，加深学生对数学基础概念的记忆，助力高效解题。

例如，在教学“同类项”相关概念内容时，为加深学生对数学概念的理解，教师可在课堂中为学生引出这样的例子：“假设-a3bm和-anb2是同类项，求m及n的取值。”很多学生在解答这道题时，都感到毫无头绪，找不到解题突破点。此时教师就可以引导学生利用逆向思维能力思考题目，发掘题目中蕴藏的深层次内容，从反方向出发，更好地理解同类项的概念，得出m=2、n=3的正确答案。当然，概念教学方面的逆向思维训练，并不仅局限于让学生从反方向出发思考数学问题，教师也可从更多元化的角度出发，为学生引出更多的问题，引导学生以逆向思维推导出相应的概念与定理。如在教学“相反数”这一知识内容时，教师可提问3的相反数是多少，或-3是几的相反数，从正、反两方面出发引导学生的学习思维，丰富学生对数学概念的认知，达到逆向思维训练目的。

（四）借助数学公式，锻炼学生的逆向思维能力

数学公式在初中数学教学中有着举足轻重的地位，对数学公式的学习与应用，是学习数学学科的关键所在。通常情况下，学习数学公式的过程往往是相对简单的，但运用数学公式，却要求学生有着良好的思维能力与灵活的思维习惯。实践表明，目前初中生对数学公式、法则的学习较不灵活，习惯亦步亦趋地跟随着教师的指引，机械地学习知识，对数学公式的理解常局限于教材层面，难以举一反三、活学活用地学习数学公式。同时，教师受到传统教学理念的影响，通常也并不会为学生做数学公式方面的逆向思维延伸，种种原因都造成学生对数学公式的应用不够灵活。为解决如上问题，在此后的数学教学中，对于与公式、法则相关的内容，教师应重视面向学生做好逆向思维培养，帮助学生掌握正确、灵活使用数学公式、数学法则的思路与方法，让学生得心应手地利用数学公式解答数学问题。

目前看来，在初中数学教材中，公式、法则、定理存在双向性特征的情况并不少见，如一元二次方程的判别式定理、根与系数的关系、勾股定理及其逆定理、平行四边形性质及判定定理，这类知识就有着明显的双向性特征。在教学此类知识时，教师应有针对性地引领学生借助逆向思维，对公式展开思索，深化学生对数学知识的理解。如平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，在教学时，教师可引导学生以逆向思维对公式展开双向理解：公式中，从左到右属于整式乘法，从右到左则属于因式分解的内容。对于公式am·an=am+n与am+n=am·an，(ab)n=an·bn与an·an=(ab)n，教师皆可使用这类教学方法进行教学，令学生熟练掌握相关知识内容。

（五）借助习题教学，提升学生的逆向思维能力

习题教学是数学教学的重要组成部分，强化习题教学，是训练学生逆向思维能力的关键所在。在习题教学环节中，教师可多引导学生利用逆向思维，以观察、联想等方式，将复杂的问题简单化，采用特殊解法，解决一般性问题，形成“正难则反”的解题思路，并将这种解题思路应用到后续的数学学习中，获得数学核心素养的持续成长。目前看来，在初中数学教学中，学生解答数学问题用到的思维方法是十分丰富的，常见的有分析法、反证法等，采用这些方法进行解题，常需要学生调动逆向思维能力。因此在解题教学中，教师可有意识地训练学生领悟逆向思维的内涵，增强学生的知识应用能力，以达到教学目的。

例如，在解答几何证明题时，学生常会用到分析法，尝试从结果出发，利用学过的数学知识推导出证明过程，这便体现了学生对逆向思维能力的应用。在解题教学中，教师可从这一角度出发进行知识渗透，强化对学生逆向思维的培养，引导学生从结论中明确题目设定，从中找出可使结论成立的条件，之后逐步从未知推出已知，证明命题的真实性。教师同样也可针对一些反例训练内容，引导学生验证自己的解题思路，及时纠正错误，这也有助于培养学生的逆向思维能力。教师甚至可以结合具体的题型、内容，对题目中的某一条件展开形变，顺势改变整道题的解题思路，多角度地对学生实施逆向思维训练，这对于促进学生数学素养的提高而言，显然是大有裨益的。

综上所述，在初中数学教学中，培养学生的逆向思维能力，有利于拓展学生的思维空间、丰富学生的解题思路、深化学生对数学知识的理解、促进学生数学核心素养的健全发展。因此，教师应重视做好此项工作，从备课阶段、教学阶段出发，从数学概念、公式、习题教学出发，将逆向思维能力培养渗透至课堂教学的方方面面，以取得理想的教学效果。