王全来

（天津师范大学 计算机与信息工程学院，天津300387）

整函数零点分布的研究是数学分析研究中一个重要领域，整函数中一重要类是拉盖尔-波利亚类函数（简记为LP类）。该类函数首先由拉盖尔（E.Laguerre，1834—1886）在1882年研究①为了节省篇幅，本文涉及拉盖尔的学术论文可参见其数学全集，不再进行标注。。由于这个主题与黎曼猜想有一定关系，故吸引了许多大数学家如胡尔维兹（A.Hurwitz，1859—1919），波利亚（G.Pólya，1887—1985），布吕恩（de Bruijn），埃德雷（A.Edrei）等人的兴趣。1859年，黎曼（B.Riemann，1826—1866）将素数分布问题归结为函数问题，现称为黎曼zeta函数ζ（s）。黎曼猜想是指ζ（s）的所有非实根位于临界线上。设ξ（s）=s（s－1）π－s/2Γ（s/2）ς（s）/2，则ξ（iz+1∕2）是型为1的偶整函数，且若z取实值，则该函数取实值。黎曼猜想暗示ξ（s）的零点有实部1∕2，故ξ（iz+1∕2）属于LP类函数。对于ξ（s）研究激起了对LP类函数性质的探讨。波利亚在“只具实根的三角积分”，勒文（B.Levin）在1980年再版的“整函数零点分布”第八章中指出，若黎曼猜想成立，则ξ（s）属于LP类函数。

一个整函数属于LP类当且仅当f（z）=exp（－γz2+βz+α）zmΠ（1－z∕zn）exp（z∕zn），zn，α，β为实数，γ≤0，m为正整数，Σ|zn|－2收敛。LP类函数在卷积变换理论，变差变换理论，样条函数插值理论等有重要应用。该类函数在理论和应用上的研究依旧活跃，且在分析的许多方面扮演着重要角色。关于LP类函数猜想的历史研究文章目前国内外尚未见到，本文将详细研究这一历史发展，以补现有文献不足。

1 波利亚提出猜想的工作背景

1.1 波利亚之前一些学者的工作

魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815—1897）关于整函数展成无穷乘积的因子定理对于整函数性质和零点分布的研究有重要作用，在复函数理论中开创了新篇章。……