陈惠勇

（江西师范大学 数学与统计学院，江西 南昌330022）

1 曲面几何学之起点

黎曼几何学是现代数学的重要分支和领域，如果以1854年黎曼就职演讲“论奠定几何学基础的假设”为产生标志，至今已有近170年历史，思想起源则更早，其深刻的思想与几何学、物理学、哲学密切关联［1］。

曲面几何学的起点是高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）的曲面理论（测地之学）。高斯的大地测量工作，本质上是度量地球表面（弯曲的曲面）任意两点之间的最短距离，这种度量只与曲面本身相关而与其外在的空间无关，这就促使高斯思考这样的问题——“我们是否可以从曲面本身的度量出发决定曲面在空间的形状”？这种思考具有本质的意义，这是高斯内蕴微分几何思想的出发点，高斯正是从这个想法出发得到了大地测量中的重大发现——三角形内角之和大于180°，并思考这个不等量（三角形内角和与180°之差的盈余或亏损）之本质这一深刻问题，高斯1827年3月1日给奥伯斯的信中说道：“科学的尊严要求我必须清楚地理解这个不等量的本质。”

从现代微分几何学的观点来看，高斯的大地测量本质上是度量曲面上（地球表面）与外在空间无关的两点之间的最短距离（弧度）问题，这就很自然地得出测地线的概念，即“在一个给定曲面上的关于最短路径的理论”，而这一不等量的本质就是著名的（高斯称之为曲面理论中最优美的定理）Gauss-Bonnet定理：对于E3中曲面M上的“小”测地三角形 Δ，其内角为α，β，γ，则即这一不等量的本质为“曲面上由测地线围成的三角形中，其内角和与180°之差的盈余（或亏损）等于高斯曲率在该区域上的积分；……