郑硕，孙小淳

（中国科学院大学，北京100049）

“盈不足术”是我国古代一项非常重要的数学成就，它对世界数学的发展同样产生过重大影响［1］。在公元前二世纪初的数学书《算数书》中，就有通过“盈不足术”计算面积为一亩的正方形田地边长的记载［2］。中国传统数学经典《九章算术》中专门有一章介绍“盈不足术”的各种形式及其应用。将复杂的数学问题通过两次精巧的假设，转化成盈不足问题的形式，进而求解。这种以特定的数学模型来处理一大类应用问题的方法，正是中算家所擅长的［3］。

基于“盈不足术”这种“万能性”，数学史家在考察“盈不足术”时，倾向于把它描述成是一个可以不断扩展其运用范围的方法，“盈不足术”中蕴含的是一种“模型化”方法，可用于解决各种数学问题。这种乐观进步的编史学思路大体上也符合“盈不足术”的一般情况，但在一些特殊情况下，“盈不足术”在解题上的拓展就出现了问题。本文探讨的“蒲莞相生”问题，就属于这种情况。

“盈不足术”可以从线性问题拓展到非线性问题的求解，就是一个典型的编史学误读。钱宝琮认为，使用“盈不足术”求解一次函数问题时，这种解法是准确的；求解非一次函数时，得的数值是所求数的一个近似值［4］。李继闵也认为“盈不足术”解决问题给出线性问题的精确解和非线性问题的近似解［5］。白尚恕同样指出一次方程问题，以“盈不足术”计算，都得确切解，非一次方程问题，所得为近似解［6］。这里所谓“非线性问题”，指的是《九章算术》中的“蒲莞并生”“良驽相逢”“两鼠对穿”等问题。……