易伟松，刘熹微，何展航,朱 杰，佘枭雄，冯 晨，夏媛惠

(1.华中农业大学 理学院，湖北 武汉 430070；2.华中农业大学 资源与环境学院，湖北 武汉 430070)

转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性的量度，有着重要的物理意义，等同于平动物体的质量。转动惯量在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等领域也是一个重要参量。转动惯量与刚体的形状、质量分布及转轴的位置有关，按测量准度从高到低依次为扭摆法、落体法、三线摆等[1]，基于这些方法的改进研究也有报道[2-4]。

随着信息技术快速发展，智能手机普及化程度愈来愈高，智能手机搭载传感器越来越多，使得利用智能手机探索物理实验与教学的研究方兴未艾[5]。利用智能手机传感器测量刚体转动惯量也成为研究热点，陈国华等基于落体法利用智能手机磁传感器测量刚体转动惯量[6]，徐钱欣等基于三线摆法利用智能手机陀螺仪传感器测量物体转动惯量[7]，吴星星等利用智能手机旋转传感器测量转动惯量[8]。

在智能手机传感器中，磁力计(magnetometer)作为高精度传感器逐渐内置于智能手机，使得利用智能手机方便快捷测量磁场成为可能。内置于智能手机的磁力计有霍尔效应传感器(HES)、各向异性磁电阻传感器(AMRS)、巨磁电阻传感器(GMRS)和隧道磁电阻传感器(TMRS)四种，测量精度都能够达到微特斯拉(μT)[9]。本研究基于扭摆法，研究智能手机磁力计定量测量刚体转动惯量方法，并与常用方法及理论计算值进行计较，评价测量效果。

1 实验原理

转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量。在实验室里，可以利用扭摆法测量转动惯量，扭摆周期与转动惯量存在关系

(1)

在扭摆法测转动惯量，常用方法是利用转动惯量测试仪测量扭摆周期(图1)，然后利用公式(1)计算刚体转动惯量。创新方法是利用智能手机磁力计测量扭摆周期(图2)，也是利用公式(1)计算刚体转动惯量。

图1 TH-1型转动惯量测试仪

图2 利用手机测量扭摆转动惯量示意图

对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，转动惯量理论值可以根据定义式进行计算。

(2)

(3)

2 实验步骤

2.1 利用转动惯量测试仪测量刚体转动惯量

扭摆法是大学物理实验转动惯量测量常用方法，实验仪器涉及扭摆、塑料圆柱、金属圆筒、游标卡尺、电子天平、转动惯量测试仪等[10]。

常用实验思路：首先分别测得金属圆盘、加塑料圆柱和加金属圆筒的扭摆周期(摆角为90°，光电门位于挡光杆平衡位置处，十个周期累积的平均周期)，其次测量塑料圆柱直径和质量，计算其转动惯量理论值，然后将该理论值作为实验值代入公式(1)计算金属圆筒实验值，最后测量金属圆筒内外直径和质量，计算其转动惯量理论值，并与实验值进行比较。

2.2 利用智能手机定量测量刚体转动惯量

利用智能手机测量刚体转动惯量无须转动惯量测试仪，只需利用小磁球和内置磁力计智能手机，并安装物理实验软件。实验步骤如下：

(1)内置磁力计的智能手机安装最新版物理实验应用——Phyphox，由德国亚琛工业大学第二物理研究所开发，专为基于智能手机完成物理实验而设计[11]。

(2)利用小磁球确定智能手机磁力计位置坐标，并做好标记[12]。

(3)将小磁球固定于金属圆盘边缘，并与智能手机磁力计对齐(图2)，分别测得金属圆盘、加塑料圆柱和加金属圆筒的扭摆周期(摆角为90°，十个周期累积的平均周期)，然后按照上述常用实验思路计算转动惯量，将利用智能手机实验结果与常用方法及理论计算值进行比较，评价智能手机测量效果。

3 实验结果

3.1 利用转动惯量测试仪测量结果

利用转动惯量测试仪，采用常用实验思路测量结果(表1)，其中直径和周期都是三次测量取平均值。

表1 利用转动惯量测试仪测量结果

3.2 智能手机磁力计坐标及三轴定位

实验用智能手机为苹果iPhone6p，磁力计位于手机左上角，距离上端15mm，距离左边18mm。不同手机品牌及型号，磁力计位置和三轴方向可能不同。

3.3 利用智能手机磁力计测量转动惯量结果

(1)利用智能手机磁力计测量周期

智能手机磁力计测量扭摆过程磁感应强度随时间变化，磁场极大值就是小磁球离手机最近的位置，强度几乎没有变化。磁场极小值表示小磁球离手机最远的位置，因为阻尼作用，扭摆振幅不断减小，磁场极小值随之不断增大，周期也随之增加。将金属圆盘实验原始数据导出，分别截取振幅基本没有变化部分和振幅显著减小部分，分别计算十个周期的平均周期(图3)，分别为0.64s和0.65s。依照类似的方法，可以根据磁场变化情况计算出塑料圆柱和金属圆筒的扭摆周期分别为0.92s(0.93s)和1.41s(1.42s)。

图3 根据磁场变化计算扭摆周期

(2)利用智能手机测得转动惯量及百分偏差

将上述周期(前半段振幅还没有显著减少部分的平均周期)和刚体参数代入公式(1)，可以得到金属圆盘、塑料圆柱和金属圆筒转动惯量实验值(表2)，将实验值与理论值进行比较，得到百分偏差。

表2 利用智能手机磁力计测量结果

4 分析讨论

基于扭摆法测量刚体转动惯量，无论是利用转动惯量测试仪，还是利用智能手机磁力计都可以准确测出刚体转动惯量；转动惯量测试仪精度较高，百分偏差小于1%，基于智能手机测量精度稍低(2.4%)，仍在可接受范围。本实验结果证实了利用智能手机磁力计，结合物理实验应用程序，定量测量刚体转动惯量方法的可行性。

利用转动惯量测试仪与利用智能手机测量刚体转动惯量原理相同，都是基于扭摆法。在不考虑摩擦力、空气阻力、弹簧形变等因素情况下，无阻尼自由摆动为简谐振动，然而在实际测量过程中由于上述因素无法避免，因此扭摆的摆幅不断减小，实际扭摆属于欠阻尼摆动，详细误差分析参见文献[10,13]。利用智能手机测量转动惯量可以记录扭摆振幅变化情况，以及振动周期随摆角减小而增加的变化[13]，有助于学生加深对阻尼振动的认知，这是常规测量方法无法获取的信息。

由于智能手机磁力计具有较高的灵敏度和精度，因此只要物理实验中待测物理量具有周期性，都可以增加小磁球，通过手机磁力计测量周期，据此计算待测物理量。例如弹簧劲度系数[14,15]、转速[16,17]等都可以使用上述方法测量。随着信息技术不断发展，智能手机普及化程度升高，智能手机内置传感器丰富，将极大地拓展智能手机在物理实验和教学中的应用领域。在疫情防控背景下，智能手机有助于居家物理实验开展，可望成为移动物理实验室[18]。

5 结 语

文章利用智能手机磁力计和手机应用程序(phyphox)，基于扭摆法定量测量刚体转动惯量，实验结果证实了该方法的可行性，测量精度较高。在物理实验中引入智能手机，不仅能够降低实验成本，而且还能够激发学生学习兴趣，增强学生探究欲望。