方明月,郭瑞雪,谢翠婷

(华南师范大学 物理与电信工程学院，广东 广州 510006)

在科学实验研究以及生产技术发展等多领域中，常常要求在某一有限空间内产生一个均匀性的磁场[1，2]。由于亥姆霍兹线圈简便且成本低，因此实验室和工程上常常使用亥姆霍兹线圈产生匀强磁场，但是此方法得到的磁场范围以及均匀性比较有限且有一定误差[3，4]。有文献[5，6]提出多载流圆线圈相组合的方法，并表明共轴3个载流圆线圈磁场的均匀性优于亥姆霍兹线圈[7]。

本文将通过理论、仿真以及实验相结合的方法对3个平行共轴载流圆形线圈产生的磁场分布进行求解与测量，并对比分析双线圈和三线圈的磁场均匀性。首先，本文采用解析以及COMSOL Multiphysics仿真软件对双线圈和三线圈产生的磁场进行求解分析。在此基础上，确定和验证产生最佳均匀磁场时三线圈装置线圈之间的间距以及电流大小等参数，为实验装置搭建提供理论基础。另一方面，本文搭建双线圈以及三线圈的实验装置，通过智能手机传感器以及特斯拉计两种手段定量测量线圈轴线上的磁感应强度分布，并将实验数据与仿真理论数值进行比较和误差分析，保证数据的可信性和实验的准确性。

1 实验原理

1.1 单个圆电流线圈的磁感应强度

根据毕奥-萨伐尔定律[8]，当圆线圈中通以电流I时，在xy平面上任意一点P1(见图1)的磁感应强度为

(1)

式中，μ0=4π×10-7T·m/A为真空磁导率，N为线圈匝数。

图1 单个圆电流线圈产生的磁场

(2)

其中，R为线圈的平均半径。

(3)

(4)

(5)

(6)

相应地，载流圆线圈在其轴线上P2点处的磁感应强度B的大小为：

(7)

x为圆心O到点P2的距离。

1.2 亥姆霍兹线圈的磁感应强度

亥姆霍兹线圈由一对平行共轴的圆形线圈串联构成，线圈之间的间距等于线圈的半径R。当两个线圈中通以大小相等、方向一致的电流I时，其轴线上沿着y方向的磁场大小为

(8)

1.3 3个共轴圆电流线圈的磁感应强度

在亥姆霍兹线圈的基础上增加一个一模一样的线圈，即平行共轴三线圈，如图2所示[9，10]。若相邻两线圈间距为a，当3个线圈通以方向一致的电流，两端线圈的电流强度为I，中间线圈的电流强度为kI时，轴线上任意一点的磁场强度大小为

(9)

(10)

有文献[6]报道，当k=0.53，a=0.76R时，三线圈轴线上磁场的均匀性最好。

图2 3个共轴圆电流线圈示意图

2 仿真分析

根据相关文献[6]可知，在3个线圈的情况下，当相邻两线圈间距a=0.76R时，磁场的均匀效果最好。

因此，本文将通过COMSOL Multiphysics软件对不同间距下的三线圈以及亥姆霍兹双线圈进行磁场仿真，从数值上验证和分析共轴三线圈轴线上的磁场强度分布。参数选取如下：线圈匝数N=500，线圈直径d=2r=20 cm，线圈宽度d=1 cm。对于亥姆霍兹双线圈，电流选取均为I=100 mA；对于共轴三线圈，选取两个边缘的线圈电流I=100 mA,中间线圈的电流I0=0.53I。

2.1 不同间距下三线圈的磁场仿真分析

如图3所示，可以清晰地发现，当a=9 cm时，虽然磁场分布最均匀，但磁场强度偏小。

图3 不同间距下共轴三线圈轴线上y分量的磁场强度与位移关系图

a=6 cm时，磁场强度变大，但磁场的均匀性变低。综合考量磁场的强度以及磁场均匀距离，图3验证了a=0.76r=7.6 cm时，三线圈的磁场均匀效果最好。

此外，也可以从图4中箭头的指向直观地看到a=0.76r=7.6 cm时，三线圈所产生的磁场在xy平面上的分布情况。可以明显地看到，轴线上的磁感应强度在一定范围内较为均匀。

图4 共轴三线圈的磁场仿真结果

2.2 三线圈和亥姆霍兹线圈的磁场仿真分析

图5呈现了亥姆霍兹线圈的磁场仿真结果，从箭头的指向和长度可以直观地看到亥姆霍兹磁场在一定区域内呈现出较好的均匀性。

图5 亥姆霍兹线圈的磁场仿真结果

图6绘制了共轴三线圈和亥姆霍兹线圈轴线上磁感应强度大小和位移的函数关系曲线图。如图6所示，通过仿真结果的对比，可以发现三线圈轴线上的磁场均匀距离比双线圈更长，且磁场强度相对更强。综合考虑磁场均匀距离以及磁场强度，三线圈轴线上的磁场均匀性明显优于双线圈。

图6 三线圈和双线圈轴线上y分量的磁感应强度大小对比

3 实验内容

3.1 实验装置

如图7所示，本文对亥姆霍兹线圈以及共轴三线圈进行了实验装置的搭建。在实验中，采用传统的特斯拉计和智能手机传感器两种方法对线圈轴线上的磁感应强度进行数据采集。

(a)特斯拉计测量三线圈磁感应强度

3.2 实验方法

(1)调整实验平台，使3个线圈等高共轴，并调好两两线圈之间的间距使a=0.76r=7.6 cm；

(2)不接通电源，将华为手机的传感器放置在三线圈的轴线上，旋转台面使手机传感器磁场调零；

(3)接通电源，沿三线圈的轴线方向移动手机，分别记录当三个线圈通正向电流和反向电流时y方向的磁感应强度B+和B-；

(4)重复步骤(1)～(3)，但是用特斯拉计替代手机测量并记录三线圈轴线上各点的磁感应强度；

(5) 调整实验平台，使两个线圈等高共轴，并调整两个线圈之间的间距使a=r=10 cm；

(6) 重复步骤(2)～(3)，测量并记录双线圈轴线上各点的磁感应强度；

(7) 重复步骤(5)～(6)，使用特斯拉计替代手机测量并记录双线圈轴线上各点的磁感应强度。

4 实验结果分析

4.1 多方法测量下三线圈的磁感应强度分布对比

不同测量方法下共轴三线圈轴线上的磁感应强度大小和位移关系如图8所示。其中，智能手机测量和特斯拉测量数据拟合曲线之间的相关系数为0.999 3，数据点之间的误差平方和为2.502 1。由此可见，智能手机与特斯拉计的实验结果基本一致。表明了智能手机的测量结果与真实值(特斯拉计测量)之间的误差极小。

图8 不同测量方法下共轴三线圈轴线上的磁感应强度大小对比

此外，智能手机测量和仿真曲线之间的相关系数为0.910 1，特斯拉计测量和仿真曲线之间的相关系数为0.925 4。这些结果表明，实验测量所得的轴线磁场分布趋势与仿真结果基本一致。

4.2 多方法测量下亥姆霍兹线圈的磁感应强度分布对比

如图9示，可以清晰地看到，在双线圈轴线的磁场分布测量中，用智能手机与特斯拉计采集的实验数据基本一致，两条曲线的相关系数为0.977 1。

图9 不同测量方法下亥姆霍兹线圈轴线上的磁感应强度大小对比

该对比表明了智能手机测量结果与真实值之间的误差极小。此外，智能手机测量双线圈磁场的实验数据与仿真结果的相关系数为0.949 4，特斯拉计测量的数据与仿真数据曲线的相关系数为0.967 1。这些结果表明，实验测量与仿真测量数据高度一致。

4.3 多方法测量下三线圈和亥姆霍兹线圈的磁感应强度分布对比

多方法测量下三线圈和亥姆霍兹线圈的磁感应强度分布对比见图10和图11。

图10 智能手机测量三线圈和亥姆霍兹线圈轴线上的磁感应强度大小

图11 特斯拉计测量三线圈和亥姆霍兹线圈轴线上的磁感应强度大小

从图10 和图11可以看到，智能手机以及特斯拉计的测量结果表明，三线圈轴线上的磁感应强度均匀距离大于亥姆霍兹线圈，且相应位置处的磁感应强度大小明显大于亥姆霍兹线圈。这从实验上表明了，在一定电流以及线圈间距a下，共轴三线圈所产生的磁场均匀性明显优于亥姆霍兹线圈。

5 结 语

本文分别通过COMSOL Multiphysics软件、智能手机以及特斯拉计对三线圈和双线圈轴线上的磁场强度进行了仿真测量与分析比较。两种实验测量与仿真结果基本一致，均表明了在特定情况下三线圈轴线上的磁场均匀性优于双线圈，从实验上验证了共轴三线圈是产生更加均匀磁场的方法。此外，智能手机对三线圈磁场分布实验测量的引入，为实验教学中测量磁场提供了一种更加简便、低成本以及较高精确度的实验方法。