□吕港丽 郜舒竹

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出，在数学课程中，应当注重发展学生的数感……“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”[1]在对数感的定义中多次提到数量、数量关系，但对“量”并没有明确的界定。在数学中常将量分为离散量与连续量，而在历史中量还可以分为广延量与强度量，如速度就是一个强度量，速度概念在小学数学中处于难学难教的境况，而这与强度量所具有的独特性有很大关系。在我国的数学教育研究中，很少涉及广延量与强度量，因此有必要对国外相关文献进行梳理，厘清“强度量”的意义及其认知规律的已有研究，以期为进一步研究奠定基础。

一、“强度量”的历史源流

古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle）在他的《范畴篇》中，将质与量看作是不同的范畴，二者之间有着本质性的区别。量（quantity）表示的是物质的“多少（multitude）”与“大小（magnitude）”，可以通过同一类型的较小的量相加得到，如长度、面积等；而质（quality）表示的是物质的属性，不具有可加的性质，但有强度（intensity）的不同，如颜色、温度等。到了中世纪，质的强度变化问题在自然哲学中引起了极大的争论，并为牛津计算者提出质的量化奠定了哲学基础，而后来世人对强度量（intensive quantity）与广延量（extensive quantity）的区分也是从此衍变而来的[2]。

18世纪，德国古典哲学创始人伊曼努尔·康德（Immanuel Kant）通过部分与整体的关系来定义和区分广延量与强度量。康德将广延量定义为“部分的表征使整体的表征成为可能”的量，即当我们理解一个广延量时，也理解它的部分与整体的关系，例如一个确定的空间区域，如果不理解空间的各部分，是无法理解空间的。相比之下，在理解一个强度量时，只把它理解为一个整体，不直接表示它的部分或整体结构，例如，不理解光的不同强度，只理解光的总强度[3]。

19世纪，英国哲学家罗素（Russell）在《论数与量的关系》一文中，根据量的变化与原始量是否为一个同类的量，将量分为广延量与强度量，并给出两种类型的量的特征。当一个量的变化与原始量是一个同类的量时，这个量是一个广延量，如长度的变化就是长度本身，广延量可以加或减，并且可以被分割成可计算的部分。而当一个量的变化与原始量不是一个同类的量时，这个量就是一个强度量，如温度。强度量不可分，并且不能用数（number）来度量，必须通过感觉来比较判断，当发现感觉的变化实际上与某种广延量的变化有关时，可以用广延量的相对大小来衡量强度量的大小[4]。

20世纪，瑞士著名教育心理学家让·皮亚杰（Jean Piaget）在《儿童的数字概念》一书中解释了广延量和强度量之间的差异。他将广延量定义为“任何易于实际相加的量级（magnitude）的名称，例如质量或容量，由两个物体组成的一个物体的质量是两个原始物体质量的总和”，在广延量情况下，整体等于部分之和。他将强度量定义为“任何不受实际相加影响的量级的名称，例如温度，15°和25°的水混合在一起不会产生40°的水”，在强度量情况下，整体不等于各部分的总和[5]。

因此，现在所说的广延量相当于亚里士多德所说的“量”的范畴，具有可加性，而强度量相当于“质”的范畴，不可以直接相加减，但有强度的变化。最初人们对强度量的认识是基于感官层面的，通过具身的体验来感知，如感知光的强弱、温度的高低，到后来，人们对强度量的认识逐渐发展到抽象层面，利用与强度量相关的广延量的大小来衡量，渐渐开始用数学化的方式更加清晰地定义强度量。

现代学者对强度量和广延量的研究是以比例（proportion）研究为基础的，在物理学中，强度量指一个系统（system）的比例保持不变的属性，它不依赖于系统的大小或系统中物质的数量（amount），如一个系统的温度与它各部分的温度是一样的。根据物理学的形式主义，将强度量定义为两个广延量的商，密度、压力和温度是强度量，而质量、重量是广延量[6]。起初对比例的研究大多是在广延量背景下进行的，关于比例概念最有影响力的研究是皮亚杰和因霍尔德（Piaget and Inhelder）设计的“鳗鱼应该喂多少”的实验，这个实验不是关于强度量的，但它为研究强度量推理奠定了基础。参考皮亚杰对比例推理的研究，诺埃尔（Noelting）确定了三个强度量背景下的比例推理水平（参见表1）[7]。

表1诺埃尔的比例推理水平

皮亚杰（Piaget）和施瓦茨（Schwartz）强调了广延量和强度量之间的根本区别，认为广延量依赖于加法组合，强度量来源于比例关系。例如，两饮料均为50毫升，都含有20%的橙汁和80%的水，将两种饮料混合在一起将产生一种100毫升的饮料，由于体积取决于加法组合，它是一个广延量；而混合饮料的浓度将保持20%的橙汁和80%的水，由于浓度来源于成分之间的比例关系，并保持恒定，它是一个强度量。

努内斯（Nunes）等人通过比较日常生活中可以探索的广延量和强度量来描述二者之间的差异。他指出强度量是通过两个变量之间的关系来衡量的，味道是一个强度量，柠檬汁的甜度可以用糖量和柠檬汁量之间的关系来描述。而广延量是由数（number）度量的，该数表示度量单位（unit）可以度量该量的次数，彩带是2.5厘米长，表示度量单位厘米，可以度量彩带两次半。度量操作反映了广延量是以与其相同类型的单位度量的，长度以长度单位度量，体积以体积单位度量。相比之下，强度量涉及三个量，就柠檬汁的味道而言，有两个广延量——糖的数量和柠檬汁的数量，以及强度量味道本身，并且两个广延量和强度量之间的关系是不同的，制作柠檬汁时，用的糖越多，味道越甜，但用的柠檬汁越多，味道越不甜，因此，糖的量与甜度成正比，柠檬汁的量与甜度成反比。这表明，为了理解强度量，儿童需要理解量之间既有正比关系，也有反比关系。

综上所述，人类对量的认识经历了漫长的历程，从最初亚里士多德提出质与量的范畴，到后来衍变为强度量与广延量，而对广延量与强度量的认识和区分是几个世纪以来的重大课题。从康德首次通过对部分与整体关系的感知来定义和区分强度量与广延量，到后来，人们开始利用比例关系来描述强度量。广延量与强度量可以从部分与整体的关系以及度量的角度来理解，广延量表示可以由与其相同类型的度量单位直接度量的量，如长度、面积、体积、重量等，在广延量的情况下，整体等于部分之和；而强度量是由两个广延量之间的比例关系来衡量的，如温度、浓度、速度、压强等，在强度量的情况下，整体不等于各部分的总和。

二、“强度量”的认知发展阶段及认知困难

皮亚杰以及诺埃尔等人的研究表明，比例推理是在青少年时期才逐渐发展起来的，在这之前不考虑比例的加法比较。西格勒（Siegler）在研究概念内部以及概念之间的发展顺序时指出，儿童强度量概念的发展可以划分为三个阶段（参见表2）[8]。

表2西格勒的儿童强度量概念发展阶段

主导维度是指儿童在进行强度量推理时首先依赖的维度，但“主导”与“从属”的地位并非保持不变，不同的刺激可能会导致二者发生转变，并且在不同的强度量问题中，也有所差异。皮亚杰、努内斯等人的研究表明，对于大多数强度量问题，与强度量成正比的变量是主导维度。例如，“哪杯饮料更甜”，儿童在做判断时，会认为“糖更多的饮料更甜”，在这里与甜度成正比的糖量是主导维度；而在速度问题中，“哪个行程更快”，儿童在做判断时，会认为“时间越短的越快”，在这里与速度成反比的时间就成为主导维度。

儿童强度量概念的建构并不是一蹴而就的，而是经历了从专注一个维度过渡到在有限情况下考虑两个维度，再到综合考虑两个维度的过程，体现了儿童关系思维的不断发展，也反映了儿童建构完善的强度量概念并不容易。那么儿童在理解强度量概念以及在解决强度量问题时，有着怎样的认知困难呢？

（一）难以理解反比关系

由于强度量来源于比例关系，必然涉及与其成反比关系的量，而多位研究者发现，儿童在理解反比关系上存在困难。

科亚（Correa）在研究幼儿除法概念的发展时，通过分配糖果的实验发现儿童很难想到商和除数之间的反比关系[9]，之后，科尔尼拉基（Kornilaki）在对离散量和连续量除法的研究中，同样验证了儿童在理解商和除数之间的反比关系上存在困难[10]。

霍韦（Howe）等人通过一项研究对影响强度量推理的因素进行了检验，该研究测试了963名7～12岁的苏格兰儿童，以比较问题和缺失值问题的形式解决42个强度量问题。其中在比较问题中，研究者发现对于大多数项目，操纵与强度量成正比例的变量比操纵成反比例的变量的问题容易，而有时，操纵反比例变量很容易处理，例如，判断哪一个行程更快，反比例变量（时间）比正比例变量（距离）容易。而导致儿童理解反比关系存在困难的原因除了认知方面的因素以外，还主要来源于语言的使用。一是术语的选择，例如，对两杯柠檬汁进行提问，当问题是“哪杯饮料更甜”时，正比例变量是糖量，而当问题是“哪杯饮料更酸”时，正比例变量就变成了柠檬汁的数量；二是日常的单位化，例如，每单位重量的不同价格比每单位价格的不同重量更为常见（香蕉5元/千克比香蕉0.2千克/元常见），从而使价格更加显著。这些例子表明对于大多数强度量，日常的语言习惯倾向于使正比例变量显著，反比例变量不显著。

因此，理解反比关系的困难会阻碍学生理解强度量，而导致学生难以理解反比关系的原因，一方面是认知因素，随着年龄的增长，学生逐渐能够克服困难，另一方面是语言因素，教师可以有意识地让学生理解和区分不同语境下不同量之间的正比和反比关系。

（二）难以理解不同量之间的关系

努内斯（Nunes）通过控制广延量和强度量问题的正比和反比关系，研究儿童对强度量的理解障碍。研究发现，儿童理解反比关系存在困难并不能完全解释儿童对强度量问题的认知困难，在强度量问题和广延量问题中，儿童都会在理解反比关系上存在困难，但在强度量问题背景下推理反比关系比在广延量背景下推理反比关系更加困难。因此，相比于广延量问题，强度量问题还存在其他的认知困难：儿童必须认识到不同的量之间的关系，例如在“哪种饮料会更酸”问题中，儿童会将反比关系看作是正比关系，而在关于成本和速度的问题中，他们会倾向于忽略其中一个量。

皮亚杰、诺埃尔以及西格勒等人的研究表明，儿童在建构强度量概念的过程中经历了从单一维度主导到综合考虑两个维度的转变，而在这个过程中，一开始儿童无法同时考虑三个量之间的关系。

（三）难以理解强度量的不可加性

如前所述，广延量具有可加性，而强度量是不可以直接相加的，埃里克森（Erickson）在测验儿童对热量与温度的认识时发现，大多数儿童把热量归因于一种加减性质，即物体的温度可以通过加减物体的热量来改变[11]。类似的，学生可能不会将单价看成是一个强度量，“香蕉的单价是5元/千克，3千克香蕉多少元？”学生会将5元/千克看成是第1千克与5元相联系，第2千克、第3千克也与5元相联系，而3千克的香蕉的总价格就是3个5元的总和[12]。学生在解决速度问题的过程中也会出现将速度直接相加，将平均速度看作是速度和的平均数的情况。这些都反映出学生没有理解强度量的不可加性，而倾向于将广延量推理的加法思维延伸到强度量问题的推理上。

（四）难以从直观感知层面过渡到反思抽象层面

皮亚杰在研究儿童的速度概念时指出，运动和速度不是被理解，而是引起长时间的反应，首先是感觉—运动（sensori-motor），然后是直觉（intuitive），最后是操作（operational），即从直觉规则逐渐过渡到逻辑操作。研究发现，5至6岁的儿童，根据停止点的顺序来直观判断速度大小，儿童对速度最早的直觉是超越，依据可以看见的超车来判断哪个小车运动得更快，到了9至11岁，儿童开始理解时间、距离、速度三者之间的比例关系，并且能在符号层面进行运算操作[13]。

亚伯拉罕（Abrahamson）指出学生学习强度量知识时认知困难的一个重要原因是从直观感知过渡到反思抽象。学生带着对强度量的直观理解进入课堂，而这些理解是基于感觉的、整体的、不清晰的理解，主要表现在日常活动和口语表达中，如陡峭的山、车辆的速度、事件的可能性等，这些感觉可以帮助学生去学习强度量，但同时也会带来阻碍。在学习强度量知识过程中，学生需要从抽象的符号层面来看待和讨论这些量，以数学分析的形式来完成对强度量整体感觉的反思[14]。

三、“强度量”的教学

在我国现行的小学数学教材中，广延量和强度量的知识渗透在多个年级中，广延量主要分布在“常见的量”中，如长度、面积、重量等，而强度量的学习主要体现在“数量关系”中，如单价、速度等。强度量作为由两个广延量的乘法比较而产生的新量，对学生来说，在理解上存在很多困难。在强度量的教学中，如果仅仅关注对计算公式的学习与运用，如“速度=路程÷时间”，将速度看作是运算的结果，而忽视了对不同量之间的关系的理解，可能会导致学生对知识本质的认识并不深刻，在解决相关问题时也会出现各种错误。因此，教师在课堂教学中，应采取相应的策略，促进学生对强度量知识的深度理解。

（一）关注认知发展，培养关系思维

儿童强度量概念的发展经历了从单一维度主导到综合考虑多维度的过程，从最初中心化的直觉规则，逐渐走向一种关联，最终成功构建不同量之间的比例关系。教师应该关注学生的认知轨迹及可能会出现的认知困难，从而合理设置教学任务，明确教学重难点。例如，初次学习速度概念时，可以设置玩具小车运动的多种情境（起始点相同，运动的路程不同；运动的路程相同，时间不同；运动的时间相同，路程不同），让学生在不同情况下去判断哪辆小车运动得快，哪辆小车运动得慢。逐步引导学生发现路程、时间与速度之间的关系。通过设置正反问题（同一情境的快与慢），让学生在不同语境下理解正比、反比关系，帮助学生克服困难，促进学生关系思维的发展。

（二）强调定量推理，培养量感

推理（reasoning）是人们学习和生活中经常使用的思维方式，也是数学的基本思维方式。汤普森（Thompson）提出了两种类型的推理：定量推理（quantitative reasoning）和数值推理（numerical reasoning）。定量推理是对量的推理，而不依赖于特定的数值，这种推理涉及定量运算（quantitative operations）。定量运算与对情境的理解有关，是一种心理操作，例如，将两个量进行加法比较会产生差异，将两个量进行乘法比较会得到一个比或比率，定量运算创造了一个结构——创造的新量与原始量之间的关系，而数值推理用于评估一个量的大小。定量推理的发展十分重要，因为它是对真实情况进行数学化和理解量之间建立关系的基础，这些关系有助于问题的解决和概念的理解，是一般化（generalization）和代数思维（algebraic thinking）的基础[15]。因此，在强度量知识的教学中，应关注学生对量的推理，而不应仅局限于数值的运算，从量的角度理解情境中不同量之间的关系，从而培养学生的量感。

（三）注重具身体验，培养抽象能力

人类对强度量的认识最初是通过感觉来比较判断的，在进入课堂学习之前，学生也已经对强度量有了直观的理解。而在课堂上，学生需要对这些已有的经验进行反思，建构清晰完整的强度量概念。根据皮亚杰的研究，儿童对速度的认知是从可视的“超车”的动作现象开始的，随后逐渐走向一种关联，开始理解距离、时间与速度的关系，最后将速度进行量化，测量距离和时间，并对距离和时间进行定量运算，建立比率关系，构建精确的速度公式。因此，强度量的教学可以从现象开始，例如通过真实的运动情境来学习速度，让学生首先能够具身体验到强度量所唤起的感觉，然后再开始学习如何用两个广延量的比来分析和描述这种现象，从抽象的符号层面反思自己的整体感觉，从而让学生经历从质性理解到定量推理的过程，培养学生的抽象能力。

总之，关于强度量的课程与教学研究，在我国应当说处于起步阶段。关于强度量在数学课程内容中的分布规律，不同学段学生对于相关强度量的认知规律，以及对于强度量的课程设计与教学，都将成为进一步研究的问题。