文／季承洁

以双抛物线为立意的综合性压轴题，集函数知识、代数推理于一体，重在考查综合应用数学知识解决问题的创新能力。本文现以2021年湖北省宜昌市中考压轴题为例进行展示。

在平面直角坐标系中，抛物线y1=-（x+4）·（x-n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥-4），顶点坐标记为（h1，k1）。抛物线y2=-（x+2n）2-n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）。

（1）写出A点坐标；

（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）；

（3）当-4≤n≤4 时，探究k1与k2的大小关系；

（4）经过点M（2n+9，-5n2）和点N（2n，9-5n2）的直线与抛物线y1=-（x+4）（x-n），y2=-（x+2n）2-n2+2n+9 的公共点恰好为3 个不同点时，求n的值。

【解析】（1）求抛物线y1=-（x+4）（x-n）与x轴交点坐标，基本方法是令y1=0，

得-（x+4）（x-n）=0，解之x1=-4，x2=n，结合条件有A（-4，0）。

（2）k1，k2是两抛物线顶点的纵坐标，对抛物线表达式进行配方或直接运用二次函数顶点坐标公式可得顶点的纵坐标。

抛物线y2=-（x+2n）2-n2+2n+9 就是顶点式，可以直接写出k2=-n2+2n+9，

综上所述：当-4≤n＜-2 或2＜n≤4 时，k1＞k2；当-2＜n＜2 时，k1＜k2；当n=2 或n=-2时，k1=k2。

（4）抛物线y1、y2和直线MN都含有参数n，随着n的变化，三线的位置也在变化。借助几何画板观察：从n=-4，三线有4个公共点开始，随着n的增大，三线的位置在逐渐变化，公共点的个数也随之变化。在运动变化的过程中，我们截取不同的瞬间，图1 到图11，直观感知，三线的公共点的个数变化为4—3—4—3—2—1—2—3—4—3—4。其中，有三个公共点的情况：一是三线经过同一点，如图2和图10；二是直线MN、抛物线y1有1 个公共点，如图4和图8。

图1 三线有4个公共点

图2 三线有3个公共点

图3 三线有4个公共点

图4 三线有3个公共点

图5 三线有2个公共点

图6 三线有1个公共点

图7 三线有2个公共点

图8 三线有3个公共点

图9 三线有4个公共点

图10 三线有3个公共点

图11 三线有4个公共点

在三线运动变化的过程中，我们通过观察、思考，发现“直线MN、抛物线y2与y轴交于同一点”，运用代数推理很容易验证我们的猜想。……