文／李长春（特级教师）

在精彩纷呈的初中数学大舞台上，45°的角一直扮演着重要的角色，虽是配角，但其常与作为主角的二次函数图像联袂演出一幕幕压轴大戏。众所周知，等腰直角三角形的底角为45°，因此，当题目中出现45°角时，我们往往要构建等腰直角三角形，将角相等转化为边相等，从而使问题迎刃而解。

一、借助坐标轴，构建等腰直角三角形

例1 如图1，抛物线y=a（x-m）2+n（a＜0，m＞0，n＞0）交y轴于点P，点A为抛物线的顶点，设直线PA与y轴所夹的角为45°，当A为抛物线的顶点时，求am的值。

图1

【思路分析】如何用好条件中的“直线PA与y轴所夹的角为45°”是解题的关键，此时可根据45°角构造等腰直角三角形，结合抛物线顶点坐标表示出关键线段的长，借助线段之间的关系列出等式求解。

解：如图2，过点A作AH⊥y轴于H。

因为y=a（x-m）2+n=ax2-2amx+am2+n，所以P（0，am2+n）。

因为A（m，n），所以AH=m，OH=n。

图2

因为∠APH=45°，所以PH=AH=m。

由PH+OP=OH，得m+am2+n=n，即am2=-m，

又因为m＞0，所以am=-1。

二、借助“一线三等角”，构建等腰直角三角形

例2 如图3，抛物线y=-x2+4x-3 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C。Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标。

图3

【思路分析】由45°角联想到等腰直角三角形，以AC为直角边在第四象限构造等腰直角三角形，借助直角坐标系的直角构造“一线三等角”，求得等腰直角三角形第三个顶点的坐标，最后再利用等腰直角三角形斜边所在的直线与抛物线的交点求得Q点的坐标。

解：对于y=-x2+4x-3，令y=0，易得x1=1，x2=3；再令x=0，得y=-3，所以OA=1，OB=OC=3。

图4

三、借助双垂图形，构建等腰直角三角形

图5

【思路分析】猜想∠ACB=90°，利用勾股定理的逆定理确认，继而得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE//PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的函数表达式，再与抛物线的表达式联立，组成方程组，求解即可。……