曹凤山

函数与导数问题往往因为难度太大而让人吐槽，又因为解法灵活背景深刻而魅力十足，更由于价值高而让人既爱又恨难以割舍.这类问题高考将会如何考，如何备考、求解是大家比较关心的问题之一.

八省联考，相信各位同学都“亲自”参与.这次超大规模的联考，你发挥得怎样呢？压轴题拿了多少分？

新题速递（2021·八省联考卷）已知函数f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

（1）证明：当x＞-时，f(x)≥0；

（2）若g(x)≥2+ax，求a.

分析对于（1），有些同学“习惯性动作”直接求导：f′(x)=ex-cosx+sinx，发现f′(x)=0 没有办法求出零点，也不能判定导函数的符号，要求出函数f(x)的最小值简直天方夜谭.宣布这是一道难题，与自己无缘！

实际上，观察函数f(x)=ex-sinx-cosx的结构，含有指数函数ex，三角函数sinx，cosx（而且熟悉sinx+cosx=根据这两个函数的性质，①x≥时，即x≥时f(x)≥0一定成立，只要证明在上f(x)≥0.

看到这些函数能想到什么？

指数函数ex单调递增，特值点（0，1），正弦、余弦函数的有界性、周期性.

（当然，这里的范围大一些也没有关系，如x≥1 时ex≥e＞2≥sinx+cosx，f(x)≥0更明显成立，也不用再合一变形）

不能全部解决也不放弃局部解决！

虽然研究范围压缩了，求最值的思路还是同样不能实现.

再审读问题，本题是证明！不是求最小值问题.从证明视角出发，可以对待证明的形式ex-sinx-cosx≥0加以分析.联想解题经验，为了求导后不再含有指数函数ex，可以适当变形.

敲黑板

前面不能求零点的根本原因在于含有指数函数ex.

令p(x)=，，由p′(x)==0得到x=0，即函数p(x)在上单调递增，在上单调递减，所以p(x)≤p(0)=1.

抽丝剥茧，分而治之，步步为营终得解.

综合①②③，有f(x)≥0.

（2）若g(x)≥2+ax，即h(x)=ex+sinx+cosx-2-ax≥0，由于h′(x)=ex-sinx+cosx-a含有参数，更难以确定零点、单调……