王志睿，赵志刚，苏 程，单子伟

(兰州交通大学 机电工程学院,兰州 730070)

海上吊运是海上作业的重要组成部分。在船舶间重型货物的装卸、海面补给作业、深水海洋工程作业等任务中，吊运作业都是极其重要的环节。海上特殊的工况为海上吊运作业带来了很大的挑战。一方面，类似于地面固定基吊机的吊运作业，负载会在吊机的工作过程中产生摆动，从而影响负载定位精度与运输效率；另一方面，由于浮动基座不仅会受到风浪的影响，船体上部机构的运动也会引起整个系统复杂的运动响应。这些因素都会威胁海上吊运作业的安全，可能造成严重的工作事故。因此，传统的船用起重机在精度、效率、负载能力和安全性能等方面都无法满足海上吊运作业日益增长的工作要求。

将柔索并联机器人与船用起重机结合，提出一种新型浮动基多机器人协调柔索并联系统，能够有效弥补传统船用起重机的缺陷。浮动基多机协调并联系统不仅具有较高的负载能力，而且通过实时控制柔索并联系统，可以有效消除被吊运物的晃动，从而提高海面吊运作业的准确性、稳定性、安全性。

目前国内外对多机协调的柔索并联系统已经进行了深入的研究，并且设计了不同的构型，以满足复杂的工作要求。Michael等[1-3]通过3台直升机建立了6自由度协调吊运系统，对系统的运动学、动力学、稳定性进行了系统地分析。Peng等[4]设计了多机器人协调拖拽系统，分析了系统外部所受的摩擦力及内部的拉紧力，建立了系统的运动学模型，分析了不同构型配置时的系统配平。Zi等[5-8]设计了一种混合驱动柔索并联机器人，并系统地研究了其力学性能与跟踪控制技术。赵志刚等[9-11]通过3台直角坐标机器人与3条柔索，协调控制被调运物的位置与姿态，对整个系统的运动学、动力学及稳定性进行了分析，并且通过实体试验证实了理论分析的准确性。上述系统多为柔索并联系统应用于地面的工作场景，此时机器人为固定基座，柔索的动张力不会对机器人末端位置的运动轨迹造成影响。本文所提出的浮动基多机器人协调柔索并联系统在工作过程中柔索的动张力会对机器人末端位置的运动轨迹造成影响，此时系统内会发生复杂的耦合现象。故该系统不仅具有很高的工程应用价值，对于绳牵引并联机构的相关理论研究也具有新的意义。

对于浮式机器人的研究可以参考海面起重船的相关研究。国内外研究发现起重船作业是非常复杂的非线性运动。Idres等[12]建立了起重船的8自由度动力学模型，并结合仿真与试验，最终认为负载与船舶之间的耦合是单边的；董艳秋等[13]分析了船用起重机在波浪状态下的动力响应；任会礼等[14]建立了浮吊船在波浪作用下的非线性动力学模型；王鹏程等[15]在非惯性系中对船用起重机进行了动力学分析。值得指出的是，现有的研究一般只考虑船体运动对负载运动的影响。对于起重船作业时，上部机构运动与船体运动在力学上的自激运动响应缺乏有效的分析方法。故目前在对船用起重机进行动力学研究及控制器设计时将吊物系统视为一个时刻受到外部激励的球摆模型。但此时系统各部分运动与受力的对应关系也不明显，未能突出该系统动力学的重要特点。

本文以静水面多机协调起吊作业为背景，利用拉格朗日方程联立了浮基和吊物系统的非线性动力学模型，同时利用数值分析的思想提出一种新的起重船吊物系统双向动力学耦合分析方法。并结合实例，利用数值仿真分析了负载、浮基、柔索之间力学关系的影响，验证了分析方法的有效性。

1 系统结构及运动学分析

1.1 多浮式机器人联合吊运系统结构分析

图1为浮动基多机协调吊运系统的空间构型简图。整个系统由3台结构相同的浮式机器人、柔索并联系统以及负载共同构成。其中浮式机器人的下半部分为浮式平台，上部机构可以按照需求设定。本文中浮式机器人的上部机构选择为3自由度肘型机械臂。负载通过柔索与机械臂末端执行器相连且悬挂于3台机械臂末端执行器的下方。3台浮式机器人的空间相对位置可依据不同的应用场景进行实时设计。

图1 浮动基多机协调吊运系统空间构型Fig.1 The layout diagram of the floating-base multi-robot lifiting system

在水平面上一点，建立惯性坐标系O-XYZ，在浮基的质心处建立浮基坐标系Osi-XsiYsiZsi，其中Xsi轴正方向指向船头且平行于甲板，Zsi轴正方向垂直于甲板向上。在机械臂根部中心处建立机械臂坐标系Oi-XiYiZi，Zi轴垂直于甲板平面向上，XiYi平面平行于甲板。Pi、bi为机械臂末端与被调运物之间的连接点，Li为连接点间的柔索矢量。其中i=1,2,3分别对应3台浮式机器人。

在重物的质心G处建立重物坐标系Og-XgYgZg,则坐标系Og相对于坐标系O的位置(x,y,z)为被吊运物在全局坐标系中的位置矢量，则坐标系Og相对于坐标系O的姿态角(θ1,θ2,θ3)为被吊运物的姿态角。机械臂的臂长为(ai1,ai2,ai3)，机械臂的转角为(θi1,θi2,θi3)。

上述吊运系统中，系统末端负载自由度为6，而仅有3根柔索作为吊运系统的驱动输入，系统构型为3T3R(三平动三转动)，吊运系统为欠约束系统。该类型系统虽然具有较高的灵活性，但仅适用于较慢速度的吊装作业。因此简化设计一种具有完整约束的3T(三平动)构型的，该系统即具有较高的灵活性，也具有超确定输入、快速定位的特点。此类机构在工业、军事、航天等领域具有较好的应用价值[16]。

当系统构型为3T构型时，可假设3根柔索与负载的连接点为同一点。连接点为P(x,y,z)。

1.2 浮式机器人运动学模型

3台浮式机器人结构相同，以一台为例进行运动学建模。如图2所示，用卡尔丹角来表示浮基的运动，浮基绕Xsi轴的旋转角αi表示浮基的横摇，绕Ysi轴的旋转角βi表示浮基的纵摇，绕Zsi轴的旋转角γi表示浮基的首尾摇。

图2 浮基坐标系Fig.2 Floating coordinate system

船体在空间内位置(xsi,ysi,zsi)可表示船体的横移、纵移和升沉运动。则船体坐标系与惯性系之间的齐次矩阵为

R=

(1)

图3为浮式机器人结构简图，3台浮式机器人结构相同，机械臂坐标系原点Oi在船体坐标系Osi中的位置为(xi,yi,zi)，机械臂坐标系相对于船体坐标系的转角为φi，故机械臂坐标系与船体坐标系之间的齐次矩阵为

图3 浮式机器人结构简图Fig.3 Structure diagram of floating robot

(2)

(3)

式中：ci1、ci2、ci3为机器人3个关节角的余弦值；si1、si2、si3为机器人的3个关节角的正弦值。

则惯性坐标系中，机械臂末端点在的齐次坐标(xbi,ybi,zbi,1)为

(4)

将式(4)展开求导即可求出机械臂末端在惯性系中速度、加速度与船体运动之间的关系。根据机械臂末端在惯性坐标系中的期望运动轨迹和浮基的运动规律，利用式(4)可以求出bi在O-XYZ中的运动规律。

1.3 吊运系统运动学建模

负载为刚体，当负载在空间具有6个自由度时，将负载的运动分解为刚体的平动及绕定点转动。

负载质心G在坐标系O-XYZ中的矢径为

rG=(x,y,z)T

(5)

则负载的平动速度可以表示为

(6)

利用广义欧拉角θi(i=1,2,3)来描述负载在空间中的转动，则引入旋转矩阵为

RG=Rθ3Rθ2Rθ1=

(7)

根据欧拉定理，利用矢量加法合成负载角速度

(8)

将式(8)，在连体基中分解，得到ω在连体系上的投影为

(9)

在局部坐标系Og-XYZ中，柔索与负载连接点坐标为pi,设连接点在全局坐标系O-XYZ中的坐标为Pi=[xPi,yPi,zPi]T，则可以表示为

Pi=RGpi+rG

(10)

当吊运系统的构型为3T构型时，负载只具有3个平动自由度，此时用式(5)、式(6)即可表示负载的运动状态。当构型为3T3R时，负载为6自由度，则联立式(5)～式(9)表示负载的运动状态。

1.4 吊运系统的运动学约束

如图1所示，在系统的工作过程中，当吊运系统处于有效工作状态时，3根柔索处于绷紧状态。根据矢量三角形法则，在惯性坐标系内，建立如下约束方程

(11)

当已知浮基和机械臂的运动规律时，将式(1)～式(5)、式(7)、式(10)代入式(11)，则可求解在惯性坐标系内机械臂末端坐标(xbi,ybi,zbi)、实时绳长Li、连接点坐标、负载位姿(x,y,z,θ1,θ2,θ3)之间的运动学关系式。

同理，当系统为3T构型时条柔索与负载的连接点为同一点，故可以依据3条柔索约束建立被调运物的空间约束方程组为

i=1,2,3

(12)

当已知浮基和机械臂的运动规律时，将式(1)～式(5)代入式(12)，联立求解，即可求得负载位移的实时运动学解。

2 系统动力学建模及耦合分析

2.1 浮基动力学模型

浮基处于无波浪的静水中，且航速为0。在实际工况中，浮动基均为船体，船体内通常都设置有船用涡轮机及自平衡装置，在静水工况下可以有效消除浮基的横摇与纵摇。故为了简化模型，现着重研究浮基沿Z向的垂荡运动响应对整体系统的影响。浮基的升沉运动微分方程为

(13)

2.2 吊物系统动力学模型

利用分析力学中的第二类拉格朗日方程，建立吊运系统的动力学方程。

已知负载的线速度矢量，则负载质心的平动能为

(14)

TZ为负载的转动能，则有

JYZωYωZ+JZXωZωX+JXYωXωY

(15)

负载的总动能为

T=TP+TZ

(16)

取为O-XY零势能面，V为负载的重力势能,故

V=Mgz

(17)

式中：M为负载的质量；g为重力加速度。

引入拉格朗日函数L，选取负载在空间位置坐标及负载的姿态角(x,y,z,θ1,θ2,θ3)为广义坐标qi。负载所受主动力中部分为有势力，则拉格朗日方程为

(18)

式中，fi为作用于负载的广义力(矩)。Fi为柔索动张力，利用虚功原理，可以求得广义力

(19)

产生旋转的广义力矩为

(20)

当吊运系统构型为3T3R时，系统为6自由度，吊运系统动能考虑转动能与平动能，同时考虑广义力fi=1,2,3与广义力矩fi=4,5,6。联立式(10)、式(11)及式(14)～式(20)，共含有9个未知量，方程封闭，构成吊运系统的运动微分方程。

当系统为3T构型时，吊运物系统只具有3个平动自由度，此时系统动能只考虑平动能，故只考虑系统具有广义力fi=1,2,3。联立式(12)及式(14)～式(20)，含有6个未知量，方程封闭，构成吊运系统的运动微分方程。

2.3 系统动力学耦合分析

目前主要的研究文献中，针对于起吊船在水中的研究都假设在时域T内考虑浮基与吊物系统之间的耦合是单向的，即浮基的运动引起吊物系统的强烈摆动，忽略上部机构的作业引起的运动响应。静水中浮基在时域内的运动状态由初始时刻所受的外力及外力矩决定。但也提出需要进一步研究上部机构对浮基运动的影响，以及货物和船舶的质量比。

本文在单向耦合假设的基础上，引入数值分析的思想，提出一种新的模型来描述浮基运动与上部机构作业之间的双向耦合动力学响应。

如图4所示，将作业时域T划分为N个等距的时间步，任取其中的时间步ΔTn(n

图4 双向耦合分析模型Fig.4 Analysis model of bidirectional coupling

2.4 系统双向动力学耦合求解方法

将时域内求解系统双向动力学耦合的方法主要分为N+1步。

第一步：给系统内各变量赋初始值

将时域T均匀划分为N个等距的时间步，则有ΔT1,ΔT2,ΔT3……ΔTn。t1=0为整个时域T的初始时刻也是时间步ΔT1的初始时刻。

t1=0时刻，浮基的运动状态给定，机械臂的运动状态给定，求得吊点b1、b2、b3在惯性坐标系中的位置坐标。

设定t=0时刻负载的空间位置及加速度，联立 求解柔索张力F1。

根据柔索的张力F1，以及柔索的空间位置，求解初始时刻吊运系统作用在对应浮基上的作用力f1及作用力矩M1。

第二步:进入总时域循环,解算第一个时间步

① 在时间步ΔT1内，利用四阶龙格库塔法求解在浮基在外力f1、外力矩M1作用下的运动规律。

② 根据所得浮基运动规律以及机械臂的运动规律，合成t1内机械臂末端吊点b1、b2、b3的运动规律。

③ 根据吊点b1、b2、b3运动规律以及负载的初始运动状态，在ΔT1内求解吊运系统的运动微分方程，得到吊运物的运动规律及柔所张力变化情况，求解吊运物的运动规律及柔索张力变化情况。在ΔT1时域内，柔索张力由初始时刻的F1变为F2。

④ 根据①～③的计算，联立浮基在ΔT1的末位时刻的运动状态，以及柔索张力F2，求解此状态下柔索的作用于浮基的力f2及力矩M2。

第三步：以f2、M2为浮基的作用力及作用力矩，按照①～④的计算方法，计算下一时间步ΔT2内的系统运动规律。

按照上述计算方法，顺次循环至N+1步，直至计算完末位时间步ΔTn。ΔTn的末位时刻tn+1即时域T的末位时刻，tn+1时刻系统的运动状态即系统在时域内的最终运动状态。

3 数值仿真分析

3T构型属于完整约束系统，具有输入确定，灵活性精准性高的特点，在实际应用中较多。故本节利用MATLAB仿真软件，以3T构型为例，在指定工况下，分别对系统进行单向耦合和双向耦合仿真。

3.1 初始条件及工况设置

设定浮式机器人的初始参数，其中浮动基座的构型参数为：L=10 m、W=3 m、H=4 m。机械臂的初始构型参数为：ai1=15 m、ai2=20 m、ai3=20 m、xi=0、yi=0、zi=2 m、φi=0.25π。浮式机器人静止于水面时浮基吃水深度为2 m，吃水量为6.0×104kg，流体密度ρ=1×103kg/m3。3台浮式机器人在空间中呈品字形正三角形布置，则表1为3台浮式机器人各点在惯性坐标系的初始坐标。

表1 浮式机器人初始坐标Tab.1 Initial coordinates of floating robot

吊运系统构型参数：负载质量m=1.5×104kg；柔索长度L1=L2=L3=30 m。负载质心的初始位置为(40,23,22),考虑负载重力的最终影响，负载质心的目标位置为(40,23,29.3)。

整个系统处于静水中，整个系统的工作状态分为两个阶段。第一个阶段为0～6 s，3条柔索均以0.5 m/s的速度匀速收缩，机械臂转速均为0；第二个阶段为6～60 s，系统自平衡阶段，柔索速度及浮式机器人转角转速为0。分析双向耦合时，将T=60 s均分为120个时间步，每个时间步ΔT=0.5 s。

3.2 仿真结果分析

经过对比仿真结果，发现由于系统呈对称构型布置，3台浮式机器人及柔索的运动学及动力学变化规律一致，故任取其中一台浮式机器人与一条柔索为例。

3.2.1 浮基动力响应情况

图5(a)、图5(b)分别是考虑单向耦合情况与双向耦合情况下浮基的位移曲线。在忽略吊物系统对浮基运动的影响时，浮基在整个时域内呈现自平衡衰减运动。在考虑吊物系统对浮基运动的影响时，由于绳索张力的不断加大，导致浮基的下沉加剧，当柔索停止收缩，此时浮基进入自平衡衰减状态。

(a)单向耦合

3.2.2 负载动力响应状况

图6(a)、图6(b)分别是考虑单向耦合情况与双向耦合情况下负载的位移曲线。0～6 s 3条柔索匀速收缩，但由于负载运动受浮基运动的影响，负载变速上升。6～60 s负载随着浮基的运动而运动，这个阶段整个系统处于自平衡阶段。在自平衡阶段，在忽略吊物系统对浮基的影响时，负载的最终平衡位置为29.3 m，负载基本到达目标位置；在考虑吊物系统对浮基的影响时，由于绳索张力的增大，导致浮基下沉加大，负载最终平衡位置为29.03 m。

(a)单向耦合

3.2.3 柔索动张力

图7(a)、图7(b)分别是考虑单向耦合情况与双向耦合情况下柔索的动张力曲线。考虑单向耦合的情况下，随着柔索收缩，柔索张力不断增加，由于在6 s柔索突然停机，此时吊运系统出现失效状态，导致柔索失去控制。但随着浮基的运动，柔索被绷直，柔索拉力逐渐稳定。考虑双向耦合的情况下，由于浮基和吊物系统的相互影响，系统内能量不断抵消，负载上升的加速度较为平稳，拉力上升曲线更加平稳。当吊运系统停机时，负载加速度较小，吊运系统并未出现失效状态。

(a)单向耦合

4 结 论

对浮动基多机协调并联吊运系统的动力响应进行分析。首先依据系统构型情况的不同，将吊运系统分为两类；然后利用D-H变换及齐次变换矩阵对浮式机器人进行运动学建模，旋转矩阵对吊运系统进行运动学建模；随后利用拉格朗日方程建立了系统的动力学模型；并提出一种新的模型来描述浮基与吊运系统在动力学上的双向耦合，并论述了双向耦合模型的求解方法。最后以3T构型为例，对单向耦合和双向耦合下的系统的运动响应进行了数值仿真分析，获得了双向耦合情况下浮基位移、负载位移和柔索动张力的变化曲线,并对比了仿真结果。结果表明，在考虑动力学的双向耦合时，吊运系统会对浮基运动造成很大的影响，同时浮基运动也会消耗负载的动能。研究结果为该机构的进一步理论研究设计及控制系统研究奠定了基础，同时也为起重船吊物系统的动力响应研究提供了新的思路。