贺红林，李洪坤，李 冀，赵伟鹏，余志豪

(南昌航空大学 航空制造工程学院,南昌 330063)

板件是航空航天结构、高铁车厢、舰船壁板、车辆构架和工程机械重要的基础结构件。随着现代机械结构技术日益向功能复合化、轻量化、柔顺化方向发展并随着机械日益高速化、运行环境复杂化，板件振动及其引发的材料疲劳、结构噪声和机器工作质量下降问题变得更加突出，因此板件减振设计已经成为高速、高精密、重载机械动力学设计的重要问题[1-2]。从抑振方法层面讲，可采用主动振动控制、被动式减振或主被动一体化技术降低板的振动，但前者实现起来较困难并会使抑振系统变得复杂，因此为方便实施并提高抑振系统可靠性，工程上多采用被动式方法。在板面敷设一层黏弹阻尼材料而使其成为自由阻尼结构是最简单板的减振形式，但它已被证明为减振效能不佳，此后在阻尼层外再增设一层薄金属构成约束阻尼结构并试图利用阻尼层高效的剪切耗能作用消弭振动，而后者却成为了阻尼板减振的主流方式。在板面全域敷设阻尼材料理想取得较好减振效果，但它也带来诸如质量大增、阻尼材料效能低下等系列问题，特别是对于航空器这类须为减少每一克质量而努力的场合，全域铺设并非理想解决方案。因此保证减振效能基本不下降前提下，充分发掘阻尼材料减振效能并以最少阻尼材料消耗获得最大结构减振效力，便构成阻尼板设计的基本问题。对此，人们开展了不少有成效的工作，比如文献[3-4]引入类似于拓扑静力学优化方法解决阻尼板减振优化问题，文献[5]用移动渐近线法对建立的拓扑优化模型进行求解，文献[6]提出增材式渐进拓扑优化法，文献[7]则以声压为优化目标并利用渐进优化算法获得阻尼材料的最优布局。但渐进法优化效率较低且优化结果易趋局域化。为此人们又研究变密度法在阻尼板中的应用，比如张志飞等[8]基于变密度法求解出自由阻尼结构优化模型并验证了该方法的有效性；文献[9]解决了多模态谐振激励条件下阻尼板优化配置问题；文献[10]研究了以模态阻尼比最大为目标的变密度阻尼结构优化技术；文献[11]解算出基于RAMP(rational approxination of material properties)插值模型的阻尼板优化构形；李攀等[12]基于SIMP(solid isotropic material with penalization)模型并采用常规优化准则法优化阻尼板而显著降低了其频响幅值。基于变密度的优化准则法数学意义严谨、迭代效率较高并且对问题规模并无太多限制，当用于静力学拓扑迭代时因能确保拓扑变量为正，故优化效果较理想，但当用于动力学优化问题时则因目标函数不一定有严格凸性，故不能保证迭代出的拓扑密度非负，从而导致优化结果不一定具全域优化性[13-14]。为提高阻尼板优化质量并发挥变密度法优势，本文规划出MO-RAMP(Multi-order RAMP)材料插值模型，根据序列凸规划理论对常规准则法进行改进，提出采用基于MO-RAMP的改进准则法实现阻尼板拓扑迭代，以解决常规变密度法的优化构型不清晰、迭代效率不高以及优化结果局域化等问题。

1 动力学模型及模态损耗因子

阻尼板振动时因其约束层与阻尼层拉压变形量不一致，导致阻尼层材料内部产生显著的剪切应变，从而耗散掉结构大量的有害振动能。由于阻尼材料力学本构复杂，因此若要准确表征剪切耗能效应则难度很大，故为简化分析，工程上针对求解精度要求不太高的黏弹阻尼结构动力学问题，常引入复值剪切模量模型度量其耗能特性，即

(1)

(2)

考虑到其几何构型和力边界的复杂性，故对一般构型阻尼板，采用有限元法求解其动力学参数为宜。为此分别对阻尼板基层、阻尼层、约束层进行网格化离散，并利用最小势能原理建立单元的动力学平衡方程

(3)

(4)

(5)

当用模态迭加法求解式(4)时可给出其齐次解形式

(6)

(7)

Rao[15]推导出模态损耗因子与复数圆频率间的关系为

(8)

(9)

将式(9)代入式(8)则得模态损耗因子算式

(10)

3 减振优化的数学模型

模态损耗因子是一个可度量结构耗能抗振特性的综合指标，且其值愈大则结构抗振性愈佳。但对于以目标函数的梯度作为寻优基础的优化方法如优化准则法等，却要求目标函数以最小化形式呈现，故此定义模态损耗因子倒数值为优化目标。根据拓扑优化特点及结合变密度法要求，设定阻尼层单元及其对应约束层单元的相对密度为拓扑变量。就板件而言，对其结构振动响应产生主要贡献的往往模态频率处于载荷激励频区的少数几阶模态，即便是这些模态，其振动贡献度也可能大小不一，在优化模型应能体现出其主次。为此，将各阶模态损耗因子的倒数值加权求和构成最终的优化目标函数。在阻尼板上全域性敷设阻尼不仅会明显增加质量并使阻尼层减振效能低下，而且还可能导致板的动力学特性剧变，这意味着在谋求减振效能时还应严控阻尼材料使用量及结构频率等。综上因素，建立阻尼板减振优化数学模型如下

(11)

3 优化模型的迭代求解

3.1 GCMOC迭代方法

阻尼板优化模型一旦建立便将动力学问题转换成为数学问题，接下来便须采用适宜方法求解规范化最优化问题，此时优化准则法(optimality criteria method，OC)即成为一个重要的求解方法选项。常规OC法是从力学或物理观点出发，根据有一定依据的假设，预先规定一组优化设计须满足的准则，然后根据这些准则构建迭代式，最后通过迭代实现以得到优化结果。其迭代求解分析过程与拓扑变量数量及问题难易程度无关，并具有收敛快、原理简单、易实现特点，故特别适于设计变量众多、计算复杂的优化问题，而动力学拓扑优化恰是具有该特征的问题。但OC法也存在一个致命缺陷，即它要求目标函数具有严格数学凸性，否则难以迭代出全局性最优解。因此为提高优化迭代质量，本文对常规OC准则法进行改进而引入全域性改进优准则法GCMOC (global extreme point converged by method of optimization criterion)求解减振优化模型。GCMOC的思路是：以序列凸规划理论为手段，通过引入移动参数构建动力学优化目标函数凸性逼近函数，借助对逼近函数的优解算而得到原目标函数的全域性解。为此，首先基于式(11)构建无约束拉格朗日函数

(12)

式中，Λ、βe、γe均为拉格朗日乘子。然后，引入移动参数c构造逼近ξ的凸性动态函数ξ*，亦即令

ξ=ξ*+cV,Λ=Λ*-c

(13)

接着，借助泰勒级数展开而构建ξ*的无限逼近函数

(14)

综合式(13)、式(14)并且针对式(12)运用Kuhn-Tucker最小化条件，便可建立ae与c之间关系且得到拉格朗日函数式(12)的改造形式

(15)

(16)

式中，Ω、-Ω、+Ω分别为拓扑变量中间值、最小值、最大值的集合。最后，针对式(15)运用K-T条件，则得GCMOC拓扑设计变量的优化迭代式

(17)

式中，m为设计变量更新移动的极限值。

3.2 拓扑棋盘格问题的处理

针对拓扑迭代中可能出现的棋盘格问题和网络依赖性，提出采用Sigmund独立网格滤波技术对单元灵敏度值进行独立滤波，即直接用过滤半径rmin之内的各单元灵敏度∂ξ/∂xi的加权平均值，代替当前单元的灵敏度，则滤波后的单元灵敏度的值为

(18)

(19)

式中:rmin为滤波半径；dist(i,j)为单元i与计算单元中心的距离。

4 基于MO-RAMP的目标函数灵敏度

4.1 目标函数灵敏度通式推导

解算结构拓扑动力学优化模型时，需使拓扑设计变量在可行性域内动态地沿某个方向迭代。目标函数的灵敏度可表征目标函数的最速下降方向，可为目标函数迭代提供最佳更替方向。特别是，式(15)清晰地表明，要完成拓扑设计变量更迭就须计算目标函数的灵敏度。由式(10)可知，目标函数灵敏度可写成

(20)

可见为求解式(20)须先计算∂ζr/∂xe。由式(10)可得

(21)

(22)

式(22)对拓扑设计变量求导，可得到

(23)

(24)

(25)

(26)

将式(24)代入式(26)可得

(27)

根据式(26)可知，对于任意单元e都有

(28)

(29)

同理可得约束层应变能灵敏度以及基层与约束层之组合体的应变能灵敏度

(30)

(31)

4.2 MO-RAMP材料插值模型

4.2.1 MO-RAMP函数形式

拓扑动力学优化与一般优化问题的最大不同在于它必须将拓扑设计变量的优化值尽量推向0或1，尽量避免迭代出处于0.5邻域内的拓扑变量值。故在针对以单元相对密度为拓扑变量的变密度优化问题时，为实现单元密度值0、1二值化，不仅须在阻尼单元密度与弹性模量之间建立明确的函数关系，而且要求该函数应具明显迭代惩罚功能，以便据此规避可能迭代出大量中间密度值问题。RAMP插值函数用于静力学拓扑优化时，能在对处于[0,1] 区间内的单元相对密度值进行较好的惩罚，并通过压缩中间密度单元而向0～1两端聚拢，以实现拓扑优化并取得较好优化效果。有鉴于此，它也偶尔引入到拓扑动力学优化领域，该插值函数的数学形式为

(32)

然而常规RAMP模型用于动力学拓扑迭代材料处罚时已证明会带来较多中间密度值，不利于优化构型实施，并且还使实际优化效果大打折扣。为此，本文基于多阶次依序惩罚之思路，构造了基于多阶RAMP函数的MO-RAMP(multi-order RAMP)材料插值模型，该模型的实现流程如图1所示。

图1 MO-RAMP插值模型计算流程Fig.1 Calculation flow of MO-RAMP interpolation model

由图1可见，MO-RAMP的基本思想是用RAMP中的f(xe)不断地代替xe并使该过程重复n次。这样做的目的是，使插值函数曲线下凹得更多并使函数曲线在1附近的斜率增加加快并使其在0附近增度减慢，以此逼近理想插值函数形态。经推导并简化后，MO-RAMP插值函数的表达式可写成如下一般形式

(33)

式中：p为惩罚因子；n为MO-RAMP的阶次。

图2为不同模型阶次的插值函数几何形状，从图中看出，随着模型阶次增大，函数曲线的下凹趋势越明显，并且这些插值函数能够较好地使原本相对密度值处在0.65～1.00内的单元迅速推送到1，同时使相对密度在 0～0.65内单元迅速趋近于0。因此，与单阶次的RAMP相比，MO-RAMP插值模型对中间密度的惩罚更为强烈而高效，故基本具备理想插值函数的样态。

图2 不同阶次的MO-RAMP函数形状Fig.2 Shape of MO-RAMP function

4.2.2 MO-RAMP材料插值模型

基于MO-RAMP插值函数的形式并结合变密度式拓扑动力学优化要求，同时比照SIMP材料插值模型构造方法，不难规划出阻尼层的MO-RAMP材料插值模型，即为

(34)

(35)

4.2.3 优化目标函数灵敏度

为推导MO-RAMP插值模型下的优化目标函数灵敏度，令式(34)中的质量阵对拓扑变量求导，则得阻尼层质量阵分量灵敏度算式

(36)

将式(34)中刚度阵求导则得阻尼层的刚度阵灵敏度

(37)

式(37)中，χe(p+1)n/{(p+1)n-[(p+1)n-1]xe}同理可得

(38)

将式(36)～式(38)代入式(31)则得MO-RAMP插值意义下的阻尼板单一模态目标函数灵敏度计算式

(39)

5 算例分析及实验印证

5.1 典型算例分析

为探讨算法性能，利用ANSYS APDL编写了基于MO-RAMP、RAMP、SIMP插值模型的阻尼板优化程序，且先针对某矩形板进行计算，该板的情况：长0.8 m，宽0.4 m；基层厚4 mm，约束层厚1.5 mm，阻尼层厚1 mm；基层和约束层采用相同材料且弹性模量43.2 GPa，密度1 810 kg/m3，泊松比0.33；阻尼层材料弹性模量2.5 MPa，密度1 150 kg/m3，泊松比0.58；阻尼板各层均离散出30×15个网格单元；板的几何约束：左端固支+右端自由。优化迭代时控制阻尼材料用量不超过初始体积量的50%，滤波半径取为30 mm，并分别对板的前3阶模态及多阶模态复合目标(前3阶模态加权求和，权重因子则为w1=w2=w3=1/3)进行了优化。优化迭代求解过程中，令惩罚因子p=3，且取定MO-RAMP模型阶次n=3；在用3种模型推进迭代时，均采用相同的滤波算法和滤波半径。图3给出了3种插值模型的优化构型对比，图中的深灰色表示相对密度值趋于1，黑色表示密度趋于0，灰白色则表示密度值接近0.5。根据图中展示的不同阶次模态的优化密度分布云情况，不难看出，采用MO-RAMP插值解算出的优化构型最为清晰明快，构型的绝大多数单元密度值或者为1或者为0，并且密度云中密度值接近于0.5的中间密度单元占比明显比RAMP和SIMP得到结果明显要少。这说明MO-RAMP对中间密度单元取得了明显的惩罚效果。当然也看到，即便采用RAMP插值则所求得的中间密度单元也比SIMP要少一些，这说明其对中间密度惩罚效果比SIMP好。此外，还可看到基于MO-RAMP的迭代避免了棋盘格的出现。

(a)MO-RAMP法1阶

图4给出了基于MO-RAMP插值模型的优化构型迭代进程。从图中看出，当基于MO-RAMP模型分别针对1阶模态和多阶模态复合目标进行优化时，其迭代进程均在第8步左右开始进入收敛状态，在此后各迭代步中，构型只出现微小的变化，并且1阶模态损耗因子值最终收敛到0.141，而多阶模态复合损耗因子值则收敛到0.125。

(a)针对一阶模态的构型迭代

图5给出了分别采用MO-RAMP和RAMP插值模型对阻尼板进行优化时，模态耗损因子的迭代进程。从图中不难看出，当采用MO-RAMP插值模型推进优化迭代时，所得到的优化构型对应的1阶模态损耗因子值比采用RAMP插值模型所得的结果更大，这表明MO-RAMP优化具有更好的减振效能。

图5 MO-RAMP与RAMP的模态损耗因子迭代Fig.5 Iterations of modal loss factor based on RAMP and MO-RAMP

作为板的优化构形设计，除了必须满足减振特性要求之外，还要求它具有与原构形接近的频率特性。图6给出了前3阶模态频率的迭代过程，从图中看出，MO-RAMP与RAMP的前2阶频率迭代情况基于趋于一致，而在第3阶频率上则MO-RAMP的结果比RAMP大了且更接近于结构原频率。可见，MO-RAMP优化出构型可以在基本不改变结构固有特性前提下，对于各阶模态具有更好的减振效果。

图6 基于MO-RAMP 与RAMP模态频率迭代Fig.6 Iteration of frequency by RAMP and MO-RAMP

表1罗列了基于不同插值模型优化而得的阻尼板优化指标值。表中可见，就模态损耗因子指标而言，能使1阶模态损耗因子取得最大值的是基于MO-RAMP模型求得的优化构型，而使多阶复合模态损耗因子最大的虽为SIMP但该值与MO-RAMP求得的结果相差不大；从模态频率指标来看，使一阶频率变化最小的也为MO-RAMP；而从迭代推进情况看，迭代收敛步数最少的仍是 MO-RAMP插值模型。这充分表明：若采用MO-RAMP模型，则能够保证在结构频率特性基本不变的条件，更为高效地迭代出更理想的拓扑优化构型。

表1 3种插值模型的优化性能对比Tab.1 Optimal characteristics of interpolation models

5.2 试验结果印证

为使本文工作得到一定的试验佐证，本文还专门针对李攀等研究中阻尼板进行了优化计算。该阻尼板的拓扑优化构形是由李攀得到，并且经过试验验证是比较合理的。表2列出了该阻尼板的情况。

表2 李攀等研究中的阻尼板基本参数Tab.2 Parameters of damping plate in research on Li Pan et al

该板有限元离散时，将其各层划分出20×10个网格单元。体积约束仍设定50%，滤波半径取15 mm，.分别采用SIMP、RAMP、MO-RAMP推进优化迭代。考虑李攀等的研究采用常规OC法，故为便于对比，本文的SIMP插值也采用OC，但针对其他插值模型则用GCMOC算法。图7给出基于各插值模型迭代出关于1阶模态优化的密度云分布，图中可见，本文基于MO-RAMP求得的优化构型与李攀等的研究展示的优化构型总体上还是比较接近的，这就说明本文得到拓扑构型具有构型优化的特质。至于本文结果与李攀等的研究的结果并非完全相同，这主要是因它们使用了不同的插值模型、采用了不同的迭代算法以乃至于滤波半径所致。

(a)未优化-全覆盖

为进一步验证基于MO-RAMP求得的优化构型的正确性和有效性，本文对具有优化构型的阻尼板进行了谐响应分析，并将其结果与李攀等的试验结果对比。图8给出了激振点和振动响应提取点。

图8 阻尼板的激振点和提取点位置Fig.8 Excitation and test points on damping plate

图9展示了未经优化的原阻尼板和经SIMP插值优化而得阻尼板的试验结果，以及分别经MO-RAMP 和RAMP插值优化而得阻尼板谐响应分析结果。图中可见，在前3阶振动模态的峰值响应中，振幅最小的均发生在MO-RAMP模型优化出的阻尼板构型上，同时该构型的频率变化也最小，并且它还不会出现中间微小振荡。这就进一步验证了MO-RAMP插值模型的有效性及其绩优性。

图9 优化阻尼板的幅频响应对比Fig.9 Harmonic responses of the optimized plate

6 结 论

(1)以模态损耗因子最大化为目标，建立了以阻尼和约束单元相对密度为拓扑变量，以阻尼层材料体积用量为约束，并以模态频率范围为控制的约束阻尼板优化数学模型。

(2)构建了优化目标函数的动态凸性逼近函数，通过对逼近函数进行优化求解，改进了OC法。改进准则法可实现阻尼板全域性拓扑寻优。

(3)多阶次RAMP插值函数在形状上具有较理想的可控性几何下凹特征，据此提出在拓扑动力学优化中利用MO-RAMP材料插值模型对拓扑变量进行惩罚，从而有效地推进优化迭代进程。

(4)基于MO-RAMP的改进准则法，可以将阻尼板拓扑设计变量值迅速推送至0或1，能得到非常清晰的拓扑优化构型；能在大幅减少阻尼材料用量情况下充分发挥其耗能效力；能在保证阻尼板动力学特性基本不变前提下，使阻尼板获得更佳减振效果，并得到便于实现的阻尼层优化构型。