杨丽丽，孔祥龙,2，李文龙，许 浩，尤超蓝

(1.上海卫星工程研究所，上海 201109；2.哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150080)

对于大型复杂的卫星结构系统，苛刻的质量轻量化要求和复杂的力学环境要求，使得卫星结构设计优化成为卫星总体设计的关键技术。进化算法(evolutionary algorithms，EAs)是模拟自然现象而发展起来的一系列仿生智能优化算法，如模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法等，EAs因为对目标函数的连续性没有要求及其较好的全局搜索能力，在卫星结构优化问题中得到了广泛应用[1-2]。但是EAs通常需要大量的适应度函数评价来搜索全局最优解。对于复杂卫星结构优化问题，通常需要借助数值仿真计算来建立设计变量与适应度函数值之间的关系，如结构有限元仿真分析，由于每一次适应度函数评价的计算耗时较大，寻优过程中成千上万次的适应度函数评价必将导致总的结构数值计算量过于浩大，从而使得通过EAs求解结构优化问题的效率受到限制。对于高计算代价的卫星结构优化问题，采用多项式回归模型、Kriging模型以及径向基函数(radial basis function,RBF)等代理模型来构建设计变量与适应度函数值之间的关系，避免耗时的数值计算，已成为当前解决此类优化问题的有效途径之一[3-4]。但是，基于代理模型的优化技术在显著提高计算效率的同时，给优化设计引入了模型误差，降低了优化结果的可靠性，而若要保证代理模型的精度，就需要选取足够多的样本点进行数值计算，导致了优化效率的降低。

为了满足高效率、高精度的要求，基于动态代理模型的优化方法在工程设计中得到了越来越多的关注。动态代理模型方法是在一个初始代理模型基础上，通过给定的加点准则不断新增样本点以实现优化过程中代理模型的更新，提高代理模型的精确度。与传统静态代理模型方法相比，动态代理模型在保证优化结果精确度的同时，具有更高的优化效率，因而成为近些年国内外学者的研究热点。Wang等[5-6]提出了自适应响应面的代理模型方法，在全局收敛性和优化效率方面表现出了较大的优势。Jones等[7]基于Kriging模型提出了一种高效全局优化方法(efficient global optimization,EGO)。Viana等[8]在EGO概念的基础上提出了一种基于多模型的高效全局优化方法(multiple surrogate efficient global optimization,MSEGO)，每次可以补充多个样本点。Hu等[9-10]在求解不确定性多目标优化问题时采用了一种基于Kriging模型的动态代理模型，使得优化求解过程中函数评估的次数得到了显著减少。曾峰[11]利用最小化置信方法的全局搜索性和信赖域的局部搜索特性，提出了一种基于Kriging模型的动态代理模型，提高了全局收敛性和优化效率。文献[12]提出了一种基于动态RBF代理模型的优化策略，在求解桁架结构优化问题时，显著提高了获得全局最优解的优化效率。龙腾等[13]引入信赖域思想，发展了一种基于信赖域的动态RBF代理模型优化策略，具有较好的优化效率和全局收敛性。Wang等[14]通过限制样本点分布规律，提出了一种基于RBF代理模型的序列采样方法，显著减少了原模型的调用次数。Shi等[15]提出了一种基于兴趣采样区域的高效序列RBF代理模型方法，高效求解了一个卫星系统多学科优化设计问题。Xing等[16]根据期望改进函数的多峰特性，提出了一种基于Kriging动态代理模型和并行计算的全局优化策略，并应用于一个无褶皱膜结构的拓扑优化问题，显著提高了计算效率和解的精确性。在以往的研究中，大多数动态代理模型都是只对目标函数进行拟合，而未考虑复杂优化问题的约束函数；另一方面，在很多动态代理模型的建立和最优解的寻优过程中，并没有对代理模型的拟合精度进行量化考虑，尤其是缺乏对最优解处的预测精度进行评估，这使得优化结果的精确性缺乏可信度。基于代理模型的优化方法在卫星结构设计优化问题中已得到广泛应用，但是动态代理模型在卫星结构优化问题中的应用研究还很少见。包含静力分析与动力学分析的卫星结构仿真分析过程是很费时的，而卫星系统对结构设计的可靠性要求又很高，因此，迫切需要开展高效高精度的卫星结构设计优化方法研究。本文针对具有高度非线性约束函数的卫星结构复杂优化问题，考虑到优化过程中EAs需要大量的适应度函数评价来搜索全局最优解，以及基于代理模型的优化方法面临着计算成本与拟合精度相冲突的问题，提出了一种高保真度动态代理模型(high fidelity dynamic surrogate model,HFDSM)方法。在众多代理模型中，RBF代理模型在拟合精确性、计算效率以及鲁棒性方面具有较好的综合性能[17]，在卫星结构优化问题中也表现出了较大的潜力[18]。因此，本文基于RBF代理模型，并采用自适应模拟退火(adaptive simulated annealing,ASA)全局优化算法，构造了一种基于HFDSM的全局优化策略，该策略在优化过程中同时考虑了最优解处代理模型的预测精度和目标函数真实分析值的下降程度，根据已有优化结果信息自适应调整搜索空间的位置和大小，并在搜索空间内补充样本点，以提高搜索空间内代理模型的精确度，使寻优结果尽可能地接近真实全局最优解,在提高全局优化计算效率的同时，也保证了代理模型在最优设计点的预测精度。

1 背景介绍

1.1 RBF代理模型

RBF代理模型[19]方法采用线性函数对非线性函数进行逼近，RBF模型的基本形式为

(1)

fr(xi)=yi,i=1,2,…,N

(2)

式中：fr(xi)为RBF模型的预测值；yi为第i个样本点处的函数精确值。则有

Aω=y

(3)

ω=A-1y

(4)

(5)

式中，φ为径向函数，常用的径向函数包括高斯函数、多二次函数及逆多二次函数。通过求解式(4)，即可求得权系数ωi，代入式(1)进而可求得代理模型fr(x)。

1.2 ASA算法

模拟退火算法是一种启发于固体物质退火过程的随机搜索方法，具有参数少和适用性强等优点。在凝聚态物理中，只要初始给定的温度足够高以及冷却速度足够缓慢，那么缓慢下降的温度就能够使金属中的原子在一个相应的低能量基态中重新排列并形成规则的晶体结构。优化过程与金属物质的退火过程非常相似，可通过采用特定的算法来适当控制温度的下降过程实现模拟退火，从而完成对优化问题全局最优解的搜索。ASA算法[20]在标准模拟退火算法的基础上，通过采用一套更快的退火程序和一种重退火策略来达到自适应调整，改善了算法的收敛速度问题。ASA算法的迭代过程，如图1所示。

图1 ASA算法的迭代过程Fig.1 Flowchart of ASA

在ASA算法的寻优过程中，从初始设计点开始，每生成一定数量的新设计点就会进行一次退火过程，而每接受一定数量的新设计点就会进行一次重退火，利用一个新设计点生成装置和接受准则，不断对当前设计点进行迭代，从而使目标函数达到最优。另外，在ASA算法的迭代过程中，除了接受使目标函数更优的点，还会接受部分较差的设计点，这个接受概率的值在优化开始时较大，随着温度的下降逐渐减小，这个机制可以使算法跳出局部最优解，便于在设计空间内找到问题的全局最优解。算法的终止条件是目标函数的值在一定次数的重退火后保持不变，或者是总迭代次数达到预设的最大值。

2 基于HFDSM的优化策略

2.1 基于HFDSM的优化流程

在基于代理模型进行优化设计的过程中，样本点越多，建立的代理模型越精确，但需要调用的高精度分析的次数也会随之增加，因此需要权衡训练样本数量和预测精度，得到精度与效率的折中。另外，在优化设计结果中，设计者关注的是代理模型对最优解附近函数特性进行准确预测的能力，而对全局的近似精度要求并不高，所以可以适当放宽全局的近似精度要求，重点保证对最优解附近区域的高精度近似。为了充分利用有限的样本点信息以及获取优化问题的高精度全局最优解，本文结合ASA优化算法构造基于HFDSM的全局优化策略。

一般约束优化问题可描述为

(6)

式中：x为nv维设计向量；BU和BL分别为设计空间的上下边界矢量；f(x)为目标函数；gj(x)为不等式约束。采用代理模型对目标函数和约束函数进行模拟后，上述问题转化为

(7)

在基于HFDSM的优化策略中，本文采用了变搜索空间和不断补充样本点的动态建模方法，根据全局优化算法的优化结果收敛情况和最优解处代理模型的预测精度来动态更新搜索空间，然后在新的搜索空间内补充样本点，改善该区域代理模型近似精度，引导优化策略收敛到全局最优解，并以代理模型的预测误差作为流程结束判定准则之一，保证了最优解的精确性。基于HFDSM的优化策略流程图如图2所示。

图2 HFDSM优化策略流程图Fig.2 Framework of the HFDSM optimization method

基于HFDSM优化策略的具体步骤如下。

步骤1建立优化问题数学模型，确定设计变量和初始设计空间V0，并建立目标函数和约束函数的真实分析模型。

步骤2令迭代计数参数k=1，采用最优超拉丁方试验设计方法在设计空间内选择初始样本点或补充样本点，并计算样本点所对应的真实分析模型的响应值。将样本点及其真实响应值保存到样本点数据库中，样本点数量取为

(8)

步骤5将第k次优化结果中的可能最优解xk代入真实分析模型中，分析获得它所对应的目标函数和约束函数真实模型响应值f(xk)、g(xk)，并将其保存到最优解集合中。

(9)

(10)

步骤7计算第k次与第k-1次优化所得最优设计点的目标函数真实响应值的相对偏差，判断该相对偏差是否满足给定的收敛标准ε2，如式(11)所示。若满足，则优化流程结束，第k次优化最优解xk即为优化问题的全局最优解；若不满足，则转入步骤8。

(11)

步骤8更新搜索空间，令迭代计数参数k=k+1，转入步骤3。

2.2 搜索空间更新策略

(2)确定搜索空间半径大小δk。定义第k-1次更新后搜索空间大小的矢量为Ck-1，Ck-1的计算公式为

Ck-1=BU，k-1-BL，k-1

(12)

式中，BU，k-1和BL，k-1分别为第k-1次更新后搜索空间的上下边界矢量。第k次更新的搜索空间半径大小δk按式(3)计算

δk=λkCk-1

(13)

(14)

3 数值算例

为了验证第2章HFDSM优化方法的有效性，本文选择曾锋等研究的HD1函数和Xing等研究中的Ackley函数作为测试算例进行验证，并分别采用基于真实分析模型与ASA的组合优化策略以及基于静态RBF代理模型与ASA的组合优化策略对上述问题进行求解，设置静态代理模型的样本点数与HFDSM的总样本点数相同，以比较优化结果的优劣。

HD1函数的表达式为

(15)

该函数有10个设计变量，本文设置最小化目标函数为f(x)=ln[F(x)+1]，其全局极小值为0。

Ackley函数的表达式为

xi∈[-3,3],i=1,2,3,…,Nd

(16)

在该函数中取Nd=10，即有10个设计变量，该函数的全局极小值为0。

采用上述3种方法对两个测试函数进行求解时，ASA算法的最大迭代次数均设为10 000次。在HFDSM优化策略中，取最优解目标函数和约束函数的预测误差标准ε1=0.01及目标函数收敛标准ε2=0.01。得到3种优化策略的优化结果，如表1所示。考虑到HFDSM优化策略中多次采用最优拉丁超立方试验设计方法，其采样过程具有一定的随机性，本文对HFDSM优化策略重复进行了5次近似模型构建及优化过程，得到目标函数最优解及对应真实值，如表2所示。

表1 测试函数优化结果Tab.1 Optimization results of the test functions

表2 HFDSM优化策略5次优化结果Tab.2 Results of five times optimization for the HFDSM strategy

从表1中可以看出，两个测试函数通过HFDSM优化策略、静态代理模型与ASA组合优化策略以及直接采用ASA算法都得到了全局极小值0附近的最优解，但是两个函数直接采用ASA算法进行优化需调用真实分析模型9 097次和10 107次，计算代价较大，而基于近似模型优化策略只需分别调用330次和396次，显著提高了优化效率。同时，基于HFDSM优化策略所得的最优解与真实值之间的相对误差均小于1%，而基于静态代理模型进行求解得到的最优解相对误差分别为9.805%和19.753%，说明采用HFDSM优化策略得到的最优解具有非常高的保真度。另外，从表2 中的5次优化结果可以看出，最优解都在全局极小值附近，相对误差也都控制在1% 以内，表明HFDSM优化方法对于求解高维非线性问题具有较好的鲁棒性。

4 工字梁优化测试算例

工字梁设计优化问题可以描述为：在给定负载情况下，使得工字梁在满足横截面积和应力约束的条件下梁的挠度最小。工字梁的结构和受力情况，如图3所示。其中梁的长度L=200 cm，弹性模量E=2×104kN/cm2，弯曲力P=600 kN，截面负载Q=50 kN，x1～x4为梁的截面尺寸参数。工字梁设计优化问题的数学模型如式(17)所示。

s.t.g1=2x2x4+x3(x1-2x4)≤300，

(17)

式中:目标函数f为梁的挠度；约束函数g1为梁的横截面积；g2为弯曲应力。

(a)

将本文提出的基于HFDSM的优化策略应用于工字梁设计优化问题的求解过程中，取最优解目标函数和约束函数的预测误差标准ε1=0.01及目标函数收敛标准ε2=0.01。另外，分别采用基于真实分析模型与ASA的组合优化策略以及基于静态RBF代理模型与ASA的组合优化策略对上述问题进行求解，并设置静态代理模型的样本点数与HFDSM的总样本点数相同，以比较优化结果的优劣。3种方法中，ASA算法的最大迭代次数设为10 000次。优化结果如表3所示。

表3 工字梁优化结果Tab.3 Optimization results of the I-beam problem

从表3中可以看出，通过HFDSM优化策略、静态代理模型与ASA组合优化策略以及直接采用ASA算法都能获得工字梁优化问题的全局最优解，但是直接采用ASA算法需调用真实分析模型5 918次，计算代价较大，而采用本文提出的HFDSM优化策略只需调用45次，显著提高了优化效率。在模型的精确性方面，HFDSM优化策略所得的最优解与真实分析模型的响应值对比，最大的预测误差为0.698%，说明该方法中的动态代理模型在最优解处具有很高的保真度，而采用静态代理模型进行求解时，在相同的模型调用次数下，其预测误差最大值达到了29.476%，若要保证代理模型的精度，还需要更多的样本点进行逼近模拟。显然，与另外两种优化策略相比，本文所提出的HFDSM优化策略很好地权衡了计算效率与预测精度的问题，在保证优化结果精确性的条件下，显著提高了优化求解的效率。

5 卫星结构优化实例

随着现代卫星系统平台规模的日益增大，卫星结构优化设计除了结构轻量化要求之外，还对卫星结构在静力载荷下的强度、模态特性以及动力响应等提出了很高的要求，因此卫星结构一般优化问题可以描述为在满足卫星结构静力强度和动力学响应的约束条件下使卫星结构质量最小化。本章以某一卫星结构优化问题为例，探讨基于HFDSM的优化策略在卫星结构设计中的适用性。

5.1 优化问题描述

某卫星结构的有限元模型，如图4所示。通过有限元分析软件Nastran分析得出卫星结构的模态特性、静态惯性力作用下的力学特性以及正弦激励下的动力学特性。考虑卫星主承力结构对整星性能的影响，选取主承力结构中板材的蜂窝芯高度、承力框架的截面尺寸以及承力筒蒙皮和桁条截面尺寸为设计变量。该卫星结构优化问题的简化数学模型如式(18)所示。

图4 卫星结构有限元模型Fig.4 Finite element model of satellite

(18)

式中：优化问题的目标函数为卫星结构的总质量Mass；Amax为通过频响分析得到的结构最大加速度响应；[A]为加速度响应值的上限；σmax为静力学分析得到的结构最大应力值；[σ]为相应的许用应力；fx、fy和fz分别为模态分析中卫星结构的x、y、z方向一阶基频基频；[fx]、[fy]和[fz]分别为其下限；设计变量x1～x16为卫星主承力结构的尺寸参数，其中x1为星箭连接环壳体的厚度，x2、x3、x4、x5分别为底板、层板、顶板和隔板的蜂窝芯高度，x6为承力筒蒙皮厚度，x7和x8为承力筒上下端框的截面尺寸，x9～x14为承力筒周边桁条的截面尺寸，x15和x16为卫星结构加强框的截面尺寸。

5.2 优化求解及分析结果

本节同样分别采用HFDSM优化策略、静态代理模型与ASA组合优化策略以及真实仿真模型与ASA组合优化策略求解上述卫星结构优化问题。由于卫星结构质量可以通过有限元模型直接输出，分析时间可以忽略，因此采用基于代理模型的优化策略进行求解时，只对约束函数建立代理模型，目标函数均为真实响应值。在HFDSM优化策略中仍取约束函数的预测误差标准ε1=0.01及目标函数收敛标准ε2=0.01。上述卫星结构的单次有限元仿真分析耗时较大，考虑到计算资源的有限，3种优化策略中ASA的最大迭代次数均设置为1 000次，优化结果如表4所示。在基于HFDSM优化策略得到的优化结果中，卫星结构的各阶模态振型图及应力云图，如图5所示。

从表4中可以看出，对于上述卫星结构优化问题，采用基于HFDSM的优化策略以及静态代理模型与ASA的组合优化策略都获得了与直接采用ASA算法相近的的全局最优解。在基于代理模型的优化结果中，加速度响应相对于其他约束函数具有较大的预测误差，但是值得注意的是，在同样调用459次仿真模型的情况下，传统静态代理模型在最优解处的最大预测误差为6.217%，而基于HFDSM优化策略所得最优解的最大预测误差仅为0.65%，达到可以忽略的量级，显著改善了优化结果的精确性。

表4 卫星结构优化结果Tab.4 Optimization results of the satellite structure

(a)x方向一阶振型

基于代理模型优化策略的时间成本主要由两部分组成：① 收集样本信息的时间成本，主要为通过有限元分析获得样本点对应的真实响应值，每个样本点的分析时间为9 min，459个样本点共耗时68.85 h；② 基于代理模型进行优化的时间成本，ASA算法迭代1 000次共耗时0.75 h，在该优化问题求解过程中，基于HFDSM的优化策略进行了3次循环，则共耗时2.25 h。综上所述，基于HFDSM的优化策略总的时间成本为71.1 h。对于直接采用ASA算法的优化策略，其时间成本主要为调用真实仿真模型进行分析的时间，共调用有限元模型1 000次，时间成本为150 h，是基于HFDSM优化策略时间成本的2倍以上，若ASA算法采取更大的迭代次数进行全局寻优，其时间成本将会更高。因此，基于HFDSM的优化策略在提高优化效率方面也显现了出色的潜质。

6 结 论

针对具有设计变量多、非线性强以及计算成本高等特点的卫星结构优化问题，本文在RBF代理模型和ASA全局优化算法的基础上，依据优化结果中目标函数的收敛情况和最优解处系统输出的预测精度构造了一种搜索空间自适应更新策略，并通过在搜索空间内补充样本点提高代理模型的预测精度，进而发展了一种基于HFDSM的全局优化方法。基于HFDSM的优化流程中通过采用上述搜索空间更新策略，根据已有优化结果信息自适应调整搜索空间的位置和大小，充分利用有限的样本点信息，提高代理模型精度，并引导优化过程收敛到全局最优解，从而达到提高优化效率和最优解预测精度的目的。

本文采用两个高维非线性测试函数和工字梁设计优化算例对基于HFDSM的优化策略的性能进行测试，并与基于静态代理模型的优化策略以及直接采用ASA算法的优化策略进行对比，结果表明，基于HFDSM的优化策略在保证优化结果精确性的条件下，显著提高了优化求解的效率。最后，采用基于HFDSM的优化策略求解某个具有16个设计变量的卫星结构优化问题，在得到的全局最优解中，结构基频及加速度响应等非线性约束都具有非常高的预算精度，最大预测误差仅为0.65%，而与直接采用ASA算法进行求解相比，时间成本降低了50%以上。因此，该方法在保证优化结果精确度的同时，能够有效提高优化求解效率，对于卫星结构设计优化问题具有很好的适用性。