尹承利

当今高考对知识点覆盖面和对数学能力考查要求较高，高考命题日趋综合化，往往在一个题目中考查多个知识点，而数列与不等式的结合正是这方面命题的最好素材.下面就数列与不等式结合的几种常见题型举例解析.

一、数列不等式恒成立问题

例1 已知数列{an}满足a1=1，an+1=14a2n+p.

（1）若数列{an}是常数列，求p的值;

（2）求最大的正数p，使得an<2对一切整数n恒成立，并证明你的结论.

解析 （1）若数列{an}是常數列，则a2=14a1+p=14+p=1，p=34.

（2）因为ak+1-ak=14a2k-ak+p=14（ak-2）2+p-1≥p-1，

所以an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）>1+（n-1）（p-1），

这说明，当p>1时，an越来越大，不满足an<2，所以要使得an<2对一切整数n恒成立，只可能p≤1.

下面证明当p=1时，an<2恒成立.用数学归纳法证明：

当n=1时，a1=1显然成立;

假设当n=k时成立，即ak<2，则当n=k+1时，

ak+1=14a2k+1<14×22+1=2成立，由上可知对一切正整数n恒成立，因此，正数p的最大值是1.

点评 求解数列不等式恒成立问题的常用方法有：先利用等差数列与等比数列等知识化简不等式，再通过解不等式解得，或转化利用最值法解得.本题是在数列不等式恒成立的条件下，求参数p的最大值问题，首先将数列作差递推，利用累差法得到数列通项的不等关系，然后在讨论范围的基础上确定出参数p的最大值，进而运用数学归纳法给出证明的.

二、数列不等式证明问题

例2 已知数列{an]的前n项和记为Sn，且满足Sn=2an-n，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）证明：n2-13

解析 （1）因为Sn=2an-n（n∈N+），所以Sn-1=2an-1-n+1（n≥2），两式相减得：an=2an-1+1，变形可得：an+1=2（an-1+1）.

又因为a1=2a1-1，即a1=1，所以数列{an+1}是首项为2、公比为2的等比数列，所以an+1=2·2n-1=2n，an=2n-1.（2）由akak+1=

2k-12k+1-1<2k-12k+1-2=12，（k=1，2，…n），

∴a1a2+a2a3+…+anan+1<12×n=n2，

由akak+1=

2k-12k+1-1=12-12（2k+1-1）=12-13·2k+2k-2≥12-13·2k，（k=1，2，…，n），得a1a2+a2a3+…+anan+1>n2-13（12+122+…+12n）=n2-13（1-12n）>n2-13.

综上，n2-13

点评 对于数列不等式证明问题，常用方法是：在利用数列知识的基础上，利用比较法、分析法、综合法或放缩法，尤其放缩法是应用的最主要方法.本题（2）就是在分离的基础上，通过对分母的处理，利用放缩法证明的.

例3 已知函数fn（x）=13x3-12（n+1）x2+x（n∈N*），数列an满足an+1=fn′（an），a1=3.

（1）求a2，a3，a4;

（2）根据（1）猜想数列an的通项公式，并证明……