马小箭，毛月梅

（山西大同大学量子信息研究所，山西大同 037009）

在群类理论中，关于超可解群一个重要的性质是：群G是超可解的当且仅当G的每个极大子群在G中指数都是素数[1]。应用σ-群理论给出了σ-超可解群的概念：称群G是σ-超可解的[2]，如果G的包含于的主因子都是循环的(其中Nσ表示所有σ-幂零群构成的群类见文献[3])。因此很自然地，将上述超可解群的结论推广到σ-超可解群，给出σ-超可解群中极大子群指数的特征。

设σ={σi|i∈I} 是所有素数集合P的一个划分，符号∏表示σ的任一非空子集。如果则称n是一个∏-数，记σ(n)={σi|σi⋂π(n)≠φ} 。假 定G是一个群，通常记∑(G)=σ(|G|)。如果G=1 或|σ(G)=1|，则称G是σ-本原的；如果G的每个主因子都是σ-本原的，则称G是σ-可解群；如果对于G的每个主因子H/K满足H/K⋊(G/CG(H/K))都是σ-本原的，则称G是σ-幂零群。设H是G的子群，如果|H|是一个∏-数，则称H是G的∏-子群；如果H是G的一个∏-子群且|G∶H|是一个∏′-数，则称H是G的Hall∏-子群。设H是群G的子群集满足1 ∈H，如果对于某个σi∈∏，H中的每个元素都是G的一个Hallσ-子群，并且对于每一个σi∈∏⋂σ(G)，H包含且只包含G的一个Hallσ-子群，则称H为G的完备Hall∏-集。特别地，如果∏=σ，则称H是G的一个完备Hallσ-集。关于σ-群理论中相关的概念和符号可参见文献[3-5]。另外，用符号Nσ，U和Uσ来表示所有σ-幂零群，所有超可解群和所有σ-超可解群所构成的群类。

1 准备知识

引理1群类Gσ和Nσ都是子群闭的饱和群系，并且σ-可解群关于σ-可解群的扩张仍是σ-可解群[3]。

引理2所有σ-超可解群构成的群类Uσ是子群闭的群系[2]。

引理3G是σ-超可解群当且仅当下面的条件成立:

引理4群G是σ-幂零群当且仅当G有完备Hallσ-集H={H1,H2,…,Ht} 满足。……