沙鑫美， 吕小祥

(1. 三江学院 机械与电气工程学院， 南京 210012； 2. 江苏南京热电工程设计院 设计部， 南京 210000)

并联机构是不少于两条的独立支链连接静平台与动平台的闭环系统，具有高稳定性、高精度、高强度和低误差等特点，广泛应用于精密加工与材料科学等领域.并联机构又可分为六自由度、三自由度和二自由度等多种类型.

目前，三自由度的并联机构广泛应用于实际工作场合，且自由度较少，主要由球面、平移和混合等3类并联机构组成.由于三自由度并联机构具有结构简易、承载性较强和误差较小等优点，该并联机构也成为学者研究的重点对象.其中，Yue等[1]参考Delta并联设备的结构，提出了具有三维移动能力的并联微操作机构；高继良等[2]设计与分析了具有对称结构的3-TRT并联机构；Zeng等[3]提出具有三平移输出的Tri-pyramid型并联机器人；吴腾等[4]研究了3-UPU并联机构，同时设计分析了3-UPU的变胞机构.上述研究均是对称型的三平移并联机构，分别具有结构简易、工作空间大、造价低等特点.

为增强并联机构的运动学性能，本文在以往研究[5-8]的基础上，提出3-PRC三平移的并联机构.其中，“3”表示其末端输出自由度，“P”表示prismatic joint，即支链的联接副为移动副；“R”表示rotation joint，即联接副为转动副；“C”表示cylinder joint，即联接副为圆柱副.与以往研究相比，本文3-PRC并联结构主要具备3个优点：1)该机构的动平台输出无转动，且具有3个平移自由度；2)所有支链对称，且各向同性；3)该机构的运动副均是低副，所以其加工精度和承载能力较高.

1 3-PRC并联机构的构型描述

本文设计的3-PRC并联机构的构型如图1所示.在该构型中，利用转动副R、圆柱副C和移动副P组成3条支链，并联机构的静平台与动平台相连.其中，圆柱副由一个转动副和同轴移动副组成，而转动副与圆柱副的回转轴线平行.

图1 3-PRC并联机构构型图Fig.1 Configuration of 3-PRC parallel mechanism

2 运动学研究

运动学研究是对并联机构性能进行分析的基础，其研究对象是动平台末端输出、机构构成和驱动之间的运动关系，即分析末端输出与机构组成的位移、速度和加速度.为分析并联机构的运动学位置，本文首先计算3-PRC并联机构的自由度数量，再建立相应的坐标系；然后求出并联机构的位置正解和反解，从而利用机构的运动影响系数，分析并联机构的速度、加速度和奇异性.

2.1 自由度计算

在分析动平台输出自由度过程中，本文使用螺旋理论进行具体的研究.由图1可知，本文提出的3-PRC并联机构的所有PRC支链均由圆柱副C、转动副R和移动副P组成，而移动副P与转动副R均可使用螺旋系表示.其中，移动副P的节距为无穷大，而转动副R为0，即PRC支链的螺旋系Si(1≤i≤4)表达式为

(1)

式中，e2、f2、e4和f4为PRC支链上运动副的空间位置数据.根据螺旋系的相关理论可知，支链的运动螺旋与约束螺旋之间具有互易关系；另外，两者的互易积是0，则可得到其支链的约束螺旋S′i(1≤i≤2)，其表达式为

(2)

由式(2)可知，该支链具有两个约束Y轴和Z轴的旋转自由度.同理，其他支链的约束螺旋也具有两个旋转自由度[9-10].由于3个转动自由度均被固定，但动平台的移动自由度未被约束，则动平台末端不能自由转动，即该并联机构的输出是三维的平动.

根据计算结果可知，3-PRC并联机构的末端自由度为3.

2.2 坐标系建立

根据并联机构的结构，可设其静平台与动平台分别是边长为a、中心为O和边长为b、中心为P的正三角形.利用这两个中心，分别建立坐标系O-XYZ和P-xyz，如图2所示.图2中，动平台中心P在O-XYZ中的坐标为(xP，yP，zP).

图2 3-PRC并联机构坐标系Fig.2 Coordinate system of 3-PRC parallel mechanism

2.3 位置正反解

在建立如图2所示的坐标系后，由于支链与静平台之间用驱动杆连接，可设支链与静平台平面的夹角为α，其长度为d，滑动距离为li，圆柱副的连接杆长度为hi，与静平台平面的夹角为θi，滑动距离为si.

驱动杆的滑动距离是并联机构的位置反解.为求解该数值，已知动平台中心P的坐标为(xP，yP，zP)，本文列举第一个支链的方程组为

(3)

根据并联机构的结构，相对于z轴，3个支链以120°分布.将第一个支链旋转120°和240°，可得到如下两个方程组，即

(4)

(5)

联立式(3)～(5)得

(6)

将式(6)整理，求解可得

(7)

式中：W1=W2=W3=1；且

此时，利用动平台中心P的坐标(xP，yP，zP)，即可求解得到3-PRC并联机构的位置反解.而对于该并联机构的位置正解，若已知驱动杆的滑动距离li(i=1，2，3)，利用式(6)可以求得动平台中心P的坐标(xP，yP，zP)，即可求解得到3-PRC并联机构的正反解.

2.4 速度和加速度

为获取3-PRC并联机构的运动状态，本文使用运动影响系数法分析其速度和加速度.式(6)是3-PRC并联机构的运动方程式，利用广义坐标可表示为

U=f(I，Φ0)=0

(8)

式中：Φ0为动平台中心P的坐标(xP，yP，zP)；I为驱动杆的滑动距离(l1，l2，l3).分别对时间t进行求导，可得

(9)

展开式(9)可得

(10)

式中，驱动中间变量K和L的公式分别为

(11)

展开可得

(12)

式中，雅克正矩阵和逆矩阵的分量mi和eij的表达式为

(13)

利用式(13)可求解具有3个维度的二阶影响系数矩阵，即

(14)

3 仿真分析

利用ADAMS软件对3-PRC并联机构进行三维建模.通过仿真验证分析结果，为并联机构的具体控制提供相应的理论依据.

3.1 逆运动学仿真

使用动平台中心点固定的运动轨迹，通过ADAMS软件即可计算出并联机构驱动模块的位移、速度和加速度.令t表示时间，设定End time为10 s，Steps为1 000.则本文动平台中心点P的曲线轨迹方程为

(15)

当该动平台中心点按照以上方程进行运动时，本文测试驱动模块的位移、速度和加速度，得到的曲线如图3～5所示.

3.2 正运动学仿真

当3-PRC并联机构的驱动杆输入确定时，本文仍可以对该机构的动平台中心点输出进行仿真.在仿真中，设定End time为10 s，Steps为1 000.同时向ADAMS软件中导入3个Splines函数曲线，作为驱动杆的输入，即

图3 驱动模块的位移曲线Fig.3 Displacement curves of driving module

图4 驱动模块的速度曲线Fig.4 Speed curves of driving module

图5 驱动模块的加速度曲线Fig.5 Acceleration curves of driving module

利用以上参数运行ADAMS软件，可以统计得到动平台中心点的位移、速度和加速度曲线，分别如图6～8所示.

由图3～8可知，在3-PRC并联机构的正逆运动学仿真中，其驱动模块与动平台中心点的轨迹位移均一致，3个驱动杆之间没有互相干涉的情况，同时其速度和加速度均无突变.仿真结果表明，3-PRC并联机构的设计合理，且其正反解与模型的理论分析结果均正确无误.

3.3 有限元分析

为了进一步分析3-PRC并联机构的性能，本文对该机构进行了有限元分析，选取了一种特殊位姿，即将并联机构置于工作空间的边界附近.在这个状态下，动平台和其他部件的变形均很严重，整个机构处于严重的受力不均匀状态，从而检测并联机构的危险部位.

图6 动平台中心点的位移曲线Fig.6 Displacement curves of center point of motion platform

图7 动平台中心点的速度曲线Fig.7 Speed curves of center point of motion platform

图8 动平台中心点的加速度曲线Fig.8 Acceleration curves of center point of motion platform

有限元分析主要有预处理、分析计算和处理三个步骤.在预处理过程中，本文分析了并联机构的材料属性、装配方式和关系，使用ANSYS软件添加移动副、转动副和圆柱副等约束和接触，得到的模型如图9所示.当并联机构的动平台承受垂直向下且大小为100 N的力时，并联机构发生了较大的变形，结构图如图10所示.

图9 3-PRC并联机构的软件模型Fig.9 Software model for 3-PRC parallel mechanism

图10 3-PRC并联机构变形结构图Fig.10 Deformation structure diagram of 3-PRC parallel mechanism

经过ANSYS软件分析可知，在受力条件下，并联机构的最大变形量为7.843 2×10-2mm，最大应力值为40.658 MPa，最小安全系数为6.121.一般来说，抗不稳定系数的取值范围为[3，5]，最小安全系数距离这个范围越远越好.因为最小安全系数为6.121，所以本文的并联机构尺寸是合理的，结构基本达到安全标准.

4 结 论

本文对3-PRC并联机构进行了设计与建模，通过理论推导与软件仿真的方式详细分析了其运动学性能，仿真结果验证了理论推导的正确性和安全性.通过ANSYS软件仿真可知，本文所设计的并联机构的安全性有待提高，即最小安全系数与抗不稳定系数的取值范围距离仍然较小，存在一定的优化空间，未来将继续优化并联机构的设计，提高其最小安全系数指标.