万中奇， 祁 宏， 李清涛， 齐小伟， 王江波

(1. 国网北京市海淀供电公司 发展部， 北京 100091； 2. 中国农业大学 信息与电气工程学院， 北京 100083)

电网保证了发电机与负荷母线之间的电力流动，电网的动力学受到发电机涡轮机和工业负载在内的旋转质量的影响，此外，电压和频率负载也会影响电网的运行.监测电网的动态运行与评估电网的小信号稳定性包括对其状态变量和拓扑(运行线路集)的有效估计[1-3]，然而，由于实时线路测量(包括断路器状态和流量)的缺失，拓扑估计受到影响[4].此外，系统操作员可能无法访问其管辖范围之外的网格区域的拓扑.但记录节点状态的高保真度实时测量新设备正越来越多地部署在网格总线中[5-6]，同时，诸如空调和电动车辆之类的智能设备通常具有监视节点电压以实现控制目标的能力，因此可以通过电网节点电压来估算电网拓扑[7-9].电网拓扑学习先前的工作大多数集中在使用静态潮流模型的统计数据来学习径向网格的拓扑结构，其方法包括：使用电压的逆协方差矩阵符号，图形模型，基于特征比较的测试，基于最大似然的测试及使用电压二阶矩的贪婪算法等[10-13].但是，上述工作需要足够时间间隔以防止网格动力学引入相关性的独立测量样本.本文放宽了关于网格拓扑的径向假设与对收集样品的假设，认为节点测量是由环形电网中的摆动动力学引起的.以线性摆动方程来描述电网的动力学模型，使用两个阶段节点电压相角的时间序列测量来构建电网的拓扑.在第一阶段通过可用的节点相位角数据来学习多元维纳滤波器，并由多元维纳滤波器的稀疏性生成一个图，该图包括网格拓扑的真实操作线/边与网格图中两跳邻居之间的其他“虚假边”；在下一阶段，本文设计一个修剪步骤，将真实边缘与虚假边缘分开.修剪步骤基于一个新的结果，该结果和虚假边缘相关联的维纳滤波器在所有频率上具有恒定相位，这与真实边缘不同，因此，可以为所有网格图形(包括环状和径向)进行精确恢复.

1 数学模型

本文提供了用于电网结构和动力学的数学模型.输电线路网格结构可以采用如图1所示的图形表示，图1中节点表示总线，边表示连接线.

图1 电网示例图Fig.1 Example of power grid

1.1 基于摆动方程的网格模型

本文将电网表示为连通的无向图ζ={v，ε}，其中，v={1，2，…，N}是N个总线/节点的集合，ε={(i，j)}是无向线/边的集合，(i，j)被视为无序元组.令bij>0表示网格中线(i，j)的电纳.对于每个节点j的复电压Uj，其幅度与相角分别用|Uj和θj表示.节点j处的频率由ωj表示.

所有节点的频率均被调节为恒定值ω0=60 Hz.对于网格中较小的环境干扰，网格每个节点处的时间动态可由线性化Swing方程表示为

(1)

如前所述，从智能电表收集的时间序列包括电网节点相位角的离散时间样本.用一阶差分在离散时间(以n为索引)中写出式(1)，得到变量的时间导数为

(2)

(3)

Θi(z)至Θj(z)的传递函数Hji(z)和输入Ej(z)可表示为

(4)

1.2 随机环境干扰

若标量随机过程的平均值μ(n)=E[x(n)]是常数，且相关函数Rx(s，t)=E[x(s)x(t)]是s，t的函数，则该随机过程x(n)是广义平稳过程(WSS).若∀i，j，xi(n)，xj(n)是WSS，且互相关函数Rxi，xj(s，t)=E[xi(s)xj(t)]是s，t的函数，则向量随机过程x(n)=[x1(n)，x2(n)，…，xN(n)]T被称为广义平稳.

本文采用零均值不相关WSS过程对电网节点环境扰动矢量进行建模，即同一节点上的扰动是时间相关的，而两个不同节点上的扰动是不相关的.在电网中，普遍使用不相关的零均值WSS过程来模拟环境干扰.

2 基于维纳滤波的重构

考虑方程(3)～(4)中讨论的网格ζ={v，ε}的摆动方程.节点j的输出θj(n)通过传递函数Hji(z)和带有z变换Ej(z)的外部输入ej决定.

图2 不同形式下的电网图Fig.2 Schematic diagram of power grid in different forms

若根据多元非因果维纳滤波器的所有非零条目构造具有边集的无向图，则边集将包括原始网格图及其中所有两跳邻居之间的边.图2c给出了一个示例，这是其进入拓扑学习算法的第一步.算法基于摆动动力学，从多元非因果维纳滤波生成一个图.为了确定网格拓扑结构，其需要区分“真”边(有邻居)和“假”边(有严格的两跳邻居，而不是邻居).对于径向网络，由于静态模型中的局部拓扑可分性规则，可区分真边和假边.然而，对于循环网络，这种拓扑可分性结果一般不成立.本文提出了一种修剪算法，以消除通过多元维纳滤波获得的虚假边缘.

3 修剪学习算法

算法通过与摆动方程有关的节点电压测量的时间序列来估计任何通用网格的拓扑，该算法输入为电网中节点的电压相位样本，阈值、频率点、输出为操作边缘估计.算法分为两部分，第1部分利用多元维纳滤波器来估计两跳邻居之间具有虚假链接的真实拓扑.在第2部分中，其考虑区间[-π，π)中的一组有限的频率点，并评估图中边缘维纳滤波器的相角.若相角在预定阈值内，则算法将其指定为虚假边缘，并从图中修剪它们以产生估计的真实拓扑边缘集.

4 仿真分析

本文采用表达式(3)所述的线性动力学，在图3a所示的IEEE39节点图上证明所述算法的有效性.用谱密度为10 dB的高斯白噪声对节点的干扰进行建模，并对未有惯性和阻尼的节点使用0.01的小惯性和阻尼来生成时间序列数据，以评估算法.对于特定示例，本文考虑IEEE39总线系统中节点25的距离一跳(绿色)与距离二跳(红色)处的节点，如图3b所示.

图3 IEEE39总线系统Fig.3 IEEE39 bus system

图4给出了节点25及其两跳邻域中的节点多变量维纳滤波器的相位响应的绝对值.结果表明，两跳外节点对应的维纳滤波器W30-25，W27-25，W28-25，W29-25的相位响应接近π，而相邻节点对应的维纳滤波器W2-25，W37-25，W26-25的相位响应则从0 rad开始.按照本文的学习算法，边L30-25、边L27-25、边L28-25及边L29-25是虚假边；而边L2-25、边L37-25、边L26-25是真实边，这与图3b展示的拓扑图是一致的，因此，本文的修剪方法能够区分两种边缘类型.为了全面研究样本量对算法性能的影响，在图5中绘制了网格情况下拓扑估计的相对误差，其定义为假正边缘及假负边缘之和与真边缘总数之比.选择阈值为10-3，可以看出，相对误差随样本数量的增加而减小.

图4 节点25及其跳邻域节点维纳滤波结果Fig.4 Wiener filtering results for node 25 and its hop neighborhood nodes

图5 IEEE39总线系统每节点样本数的误差Fig.5 Sample error of each node in IEEE39 bus system

本文分别采用蚁群算法[14]和遗传算法[15]以及本文提出的算法对图3a中的IEEE 39总线测试系统的电网拓扑进行学习.定义相对误差为算法识别出来的错误边占总识别出来边的比例，则蚁群算法和遗传算法的相对误差分别为0.22和0.34，而本文提出算法相对误差为0.18，本文提出的算法准确度更好.

5 结 论

本文提出了一种用于电网的基于多元维纳滤波的拓扑学习方法.该方法使用与摆动动态有关的节点相角测量作为输入，同时设计了基于维纳滤波器相位响应的修剪步骤，以消除由节点之间的两跳邻居关系引起的所有虚假链接，准确恢复电网的实际拓扑.IEEE测试用例的仿真结果证明了该框架在学习循环网格拓扑中的性能.