王其申

（安庆师范大学电子工程与智能制造学院，安徽安庆246133）

当把三维拉普拉斯方程在球坐标(r,θ,φ)下分离变数时，所得到的与纬度坐标θ相关的常微分方程就是连带勒让德方程（也称缔合勒让德方程）。作为其特殊情况，当问题具有轴对称性，即问题与经度方向坐标φ无关时，该方程简化为勒让德方程：

对式（1）中的自变量θ作变换x=cosθ，并记Θ(θ)=y(x)，式（1）转换为标准形式的勒让德方程：

此方程在边界条件y(±1)有界的约定下，相应的特征函数就是本文所要讨论的勒让德多项式Pn(x)(n=0,1,2,…)，它的级数表达式是

其中，[·]表示取整函数，即为方括号内数字的整数部分，下同。

勒让德多项式是物理学中一类非常重要的特殊函数。它不仅在理论物理的各个领域有着重要的应用价值，在工程问题中同样有诸多应用。因此，国内外的数学物理方法教材中都用专门的一章来介绍勒让德多项式以及更为广泛的球函数[1-6]。通常，也会介绍勒让德多项式的一系列性质，诸如它的微分和积分表达式，母函数及其递推关系，正交归一性乃至按勒让德多项式的展开定理等。

为了进一步拓展勒让德多项式的应用范围，本文作者以为，除了必须掌握数学物理方法教科书中所介绍的有关勒让德多项式的一系列重要性质外，还有必要进一步讨论其他一些重要性质。基于此，本文讨论了有关勒让德多项式的某些展开定理以及它的一阶和二阶导数的广义傅立叶展开式。

1 与勒让德多项式相关的两个展开定理

从勒让德多项式的正交归一关系出发，数学物理方法的通用教材[2-6]中都叙述了如下的展开定理。……