范晓东，宋 艳

(1.吉林化工学院 理学院，吉林 吉林 132022；2.吕叔湘中学，江苏 丹阳 212300)

近年来，多项式回归在大学物理实验中处理非线性拟合问题时应用广泛[1]，但是多项式回归要达到比较好的拟合效果需要设置较高的阶数。多项式阶数越高曲线就会越光滑，但在定义域的边界处会出现奇异的形状[2]。样条回归作为一种非线性拟合的方法，采用分段多项式的方法来拟合数据，并且可以通过增加节点的个数并保持阶数不变的情况下，得到很好的拟合效果[3]。文章介绍样条回归的基本理论并且通过分析具体的物理实验介绍样条回归的应用方法。

1 样条回归分析

假设在一组实验中观测到n个独立的数据，设Xi，Yi分别表示预测变量和响应变量i=1,…,n。假设Yi和Xi服从下面的回归模型：

yi=β0+β1b1(xi)+β2b2(xi)+…+βK+3bK+3(xi)+εi,

(1)

其中εi是误差项，b1(·)，b2(·),…,bK+3(·)是给定的样条基函数[4]和β0,β1,…,βK+3是回归系数[3]。

特别地，在拟合问题中我们最常采用的是三次样条回归，在xi,i=1,2,…,n的整个取值空间上选取K个分割点ξ1,ξ2,…,ξK，那么具有K个节点的三次样条函数的表达式为

(2)

样条回归的一个关键的问题是如何选择节点，包括节点的位置和节点的个数。一般的，选择节点时我们在数据变化较快的地方，设置较多的节点。在数据变化较稳定的地方，设置较少的节点，但最常采取的方法是节点选在均匀分位数点上，例如选择三个节点时可以选择25%,50%,75%分位数作为节点的位置，选择一个节点时，可以选择50%分位数作为节点的位置。节点个数的选择可以采用交叉验证的方法进行，也可以尝试多个不同的节点个数，选择“形状最理想”的曲线。……