廖永福　林永志

摘要：2020年，山东、海南率先使用以核心素养为导向的新高考全国卷，2021年，江苏、湖北、福建等8个省市也将加入其中.本文试图通过对一道新高考数学压轴题的研究，从一个侧面了解新高考的命题趋势，推动学生数学关键能力和核心素养在教学中的落实，助力高中育人方式的改革.

关键词：新高考;导向;压轴题;解法

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0040-02

这是2020年山东省新高考数学填空压轴题，也是一道立体几何中的轨迹问题.题目简短无图，中规中矩，但包含的信息量较大，考查的知识点较多.平淡中还暗藏玄机，有一定的难度，属中档题.

本题考查直棱柱的结构特征、直线与平面垂直的判定和性质、扇形的弧长公式;考查作图和计算能力、推理论证和空间想象能力;考查数形结合思想、化归转化思想、函数与方程思想等.

解答此题除了必要的知识储备外，正确作图、准确理解题意也是重要的一环，有些考生把球面与侧面BCCB的交线误解成球面与平面BCCB的交线，结果前功尽弃.下面给出这道题的四种解法，希望能够起到抛砖引玉的作用.

解法一利用圆的定义解题

解法二紧扣球的截面的性质，首先明确球面与平面BCCB的交线是球的小圆，小圆圆心是球心D在平面BCC1B1內的射影，即棱BC的中点E，根据小圆半径、球半径以及面心距之间的关系，求出小圆半径，进而解决问题. 此法大道至简、大巧若拙，是最本质的一种解法.

解法三通过建立平面直角坐标系，根据球面与平面BCCB交线上的点所应满足的等量关系，求出交线的方程，进而解决问题，这是几何问题代数化常用的一种方法.

解法四巧妙地引进向量，利用向量模的性质得到球面与平面BCCB交线的方程，此法算是博采了代数和几何的精华，过程简洁明了、曲径通幽.

上述四种解法各有千秋，又联系紧密，它们都是解决立体几何轨迹问题的常用方法.可以看出，解答这类问题的关键是要善于把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何、解析几何以及空间向量等知识求解.

参考文献：

[1]黄晓琳.一道高考压轴题的分析与反思[J].数学通报，2020（2）：42-45.

[2]方炫苏.立体几何中的轨迹问题[J].数理化解题研究，2016（28）：19-20.

[责任编辑：李璟]

作者简介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.