陈秀林

不等式恒成立问题的命题角度有很多，解法灵活，侧重于考查同学们的数学思维能力及应变能力.此类问题的综合性较强，难度较大，很多同学在遇到这一类问题时常常会束手无策.下面以一道含参不等式恒成立问题为例，谈一谈解答不等式恒成立问题的思路.

例题：已知函数，若对任意的实数x∈[1，+∞），f（x）≥-1恒成立，求实数a 的取值范围.

要求得 a 的取值范围，关键在于如何处理不等式，对其进行合理转化、变形，确保对任意的实数x∈[1，+∞），f（x）≥-1恒成立.函数式中含有指数和对数，还需借助导数法来解题.有如下三种思路.

思路一：采用函数最值法

函数最值法是指将问题转化为函数最值问题来求解的方法.在解题时，我们需将不等式进行合理变形，以便构造出合适的函数，借助函数的图象和性质，来求得函数的最值，进而求得参数的取值范围.对于本题，要使 f（x）≥ -1在[1，+∞）恒成立，需使函数 f（x）的最小值大于或等于-1，因此可直接利用导数求函数 f（x）的最小值.

解：

函数最值法是处理含参不等式恒成立问题的重要方法，大多数问题都可采用该方法求解，但求解过程中经常会遇到导函数零点不易求的问题，此时可借助二次求导法或设而不求法来求得函数的最值.

思路二：分离参数

分离参数是指将参数与变量分离，通过求得含有变量式子的最值，求得问题的答案的方法.此方法常适用于解答参数、变量容易分离的问题.在解题时需将不等式进行变形，使其一边含有参数，另一边不含有参   数，即只含有变量和常数，再将不含有参数的式子构造成函数模型，借助函数的图象、性质、导数的性质求得含有变量式子的最值，进而确定参数的取值范围.

解：

分离参数法是处理含参不等式恒成立问题较为简便的方法.运用此方法解题时，要注意分离参数的過程是否为不等式的等价变形，否则易出现错解.若不等式中多处含有参数，可考虑将含参的式子整体分离.

思路三：先猜想后证明

对于一些题目的关系式中直接呈现出规律的问题，我们一般采用先猜想后证明的思路解题.首先根据题意进行猜想，试图明确问题的答案，然后对其结论进行证明.在证明的过程中，可采用分析法、综合法、反证法、放缩法等进行求解.对于本题，要使不等式在 f（x）≥ -1在[1，+∞）内恒成立，则对于∀x∈ [1，+∞）的值，不等式都成立，可利用特殊值探求出参数的范围，再证明对于此范围内的参数，不等式恒成立即可.

解：

所以原不等式恒成立，所以a 的取值范围是（-∞， 1].

上述三种方法虽然在构造函数的方式上略有不同，但求解的核心思想均是利用导数法来求函数的最值.同学们把握这一关键点，就能顺利解答此类问题.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）