王立东

【摘要】在高中数学“圆锥曲线”教学中，抛物线部分是重点，也是难点.在此部分的教学中，教师应合理地向学生渗透学习方法、解题思路、数学思维等，进而解决学生在学习过程中遇到的疑难问题.基于此，笔者从STEAM理念出发，设计了抛物线切线微专题的创意教学模式，意在更有效地激发学生探究抛物线切线问题的积极性，促进教学中学生主体性的充分发挥，促使学生提升思维能力及数学素养.

【关键词】STEAM教育;抛物线;切线;微专题教学

在抛物线教学过程中，与切线相关的内容是重要组成部分，在高考中时有出现，较难把握.所以，如何优化课堂教学，激发学生的主观能动性，并借助知识点去串联、去拓展，从而提升学生的数学思维，就成了教师思考的方向.对此，教师积极学习STEAM教育理念，立足于培养学生的逻辑推理能力、思维创新能力的角度，探索更优化的抛物线切线微专题教学方案，就是解决问题的有效途径之一.

一、关于STEAM教育

（一）STEAM教育的概念

STEAM一词由五个英语单词Science，Technology，Engineering，Arts，Mathematics的首字母组成，含义是科学、技术、工程、艺术及数学，该教育理念源于美国，注重培养具有跨学科能力、实践能力、解决问题能力的创新人才.对于STEAM教育理念下的数学教学，笔者的理解就是以数学为基础，综合运用科学、技术、工程和艺术等学科知识，构建高层次的数学教学.

（二）STEAM理念下教学设计的内涵

将STEAM教育理念应用到教学中，探索更优化的抛物线切线微专题教学方案，并不代表着教师设计的授课情境、选取的教学实例等内容都要与技术、科学、工程以及艺术等多个学科知识结合，只是要求教师更加重视数学学科与其他学科的交叉融合，也着重强调教师要引导学生积极参与数学教学活动.

在STEAM理念下的教学设计要使学生在课堂上主动思考、主动动手实践、主动解决问题.与常规数学课堂不同，教师要更新观念，摒弃传统形式的灌输式教学，重视学生实践，强调主动学习，而且是多元主体参加的合作学习.基于STEAM教育理念的课堂优化，可以分成四个层面：第一个层面，以培养学生的创造力为重要目标;第二个层面，强调真实化的问题情境;第三个层面，真正做到以学生为本，让学生在做中学;第四个层面，提倡合作学习，实现教师和学生的共同发展.教师要秉承这样的思想开展数学教学工作，对数学课堂进行优化，激发学生的学习积极性，从而让学生形成相应的思维品质及关键能力.

（三）STEAM教育理念对于培养学生创造力的积极意义

STEAM教育践行的是跨学科的融合性教育，主要存在形式为项目式的学习，以某一具体目标的任务情境为基础，把学科知识综合到一起进行探究，完成具体学习任务，倾向于动手实践任务以及课外反馈评价.以STEAM教育为基础，学生通过项目式的学习活动，学习多样化的学科知识，并进行积极探究，从而提升动手实践能力以及创新能力.这样的目标与高中数学教学的目标具有一致性，因此教师在抛物线切线微专题的教学中，利用STEAM教育理念设计教学方案、组织教学活动，有利于学生创造力的形成.

二、学生解决抛物线切线相关问题时的困境

（一）具体问题情境下，较难联系导数的几何意义

导数的几何意义对于求切线方程有着重要作用，会使得应用切线的计算过程变得简便.学生要用此工具求解切线方程，就应当准确理解导数的几何意义：函数y=f（x）在x=x0时的导数就是它的图像在对应点处的切线斜率.對于具体题目而言，就是将所给抛物线方程进行转换，变成函数形式，设一个切点坐标，然后利用导数求切线斜率即可.而部分学生不能理解此点，也就不能准确和快速地写出切线方程.

（二）分析问题时，没有充分利用数学思维

与抛物线切线相关的数学问题，其典型的特点就是关系式多且复杂、变量参数比较多，导致学生在学习的时候往往迷失方向，不会合理利用已知条件进行推算.出现这样问题的重要原因就是，高中生的数学思维形成度不高，很少能用数学思维理解问题和分析问题，对于某个题目很少能从整体上进行分析，解题思路规划不合理，找不到正确的解题方向.学生如果运用方程思想、对称思想以及整体思想去分析抛物线切线问题，就会找到很多有关联的内容，找出切点与切线之间的联系，然后逐步解答问题，完成整个题目的解答.

（三）最大的瓶颈，运算推理能力比较弱

高中生在面对抛物线切线问题时，最大的困难就是不知道如何处理各种参数，因为他们处理参数的能力相对较弱，也就是运算推理能力较弱.一些学生在具体解题的时候可以形成解题思路，能列出各种各样的参量关系，但怎样简化处理却成了非常困难的问题，大量的计算让他们感到头痛，很可能因此放弃解题.另外，不少学生在运算过程中会不时出现差错，因为他们并没有形成良好的检查、核对运算过程的习惯，往往是不停地运算，用了很长时间，最终得到的结果却是错误的.

三、基于STEAM教育理念的抛物线切线微专题教学设计

为了解决以上问题，并强化高中生的数学思维、创造力，笔者借助STEAM教育理念对抛物线切线微专题的教学进行了优化，构建了“三个阶段、五个环节”的教学模式.“三个阶段”包括活动选择阶段、活动过程阶段、活动评价阶段;“五个环节”包括课题选取、搜集资料、小组合作、创新方案以及评价，每一环节都与抛物线切线问题的教学有关.首先，对于教学内容的选择，STEAM理念重视真实问题情境，所以内容的选择，一定要强调情境的真实性，就是要考虑学生是否感兴趣，是否具有客观性，是否能加强学生的体验感以及参与感.其次，强调学生是学习的主体，必须从选取的内容出发，合理设计教学方案，科学安排教学活动，给予学生更多时间以及机会.利用合作学习方式，实现教学相长，使得教师和学生共同发展.最后，对于评价方式，不能单纯依靠分数，而是要综合分析学生的能力，需要教师在课堂上多观察学生、多注意学生，从而对学生进行全面的考核.教师可利用问卷、访谈、自评、他评等方式对学生进行学习成果的考评.下面就基于STEAM教育理念的抛物线切线微专题教学，进行详细探究.

（一）强调联系实际的课堂教学

数学知识具有抽象性，尤其是抛物线切线部分的知识，更具抽象性.将抽象知识与实际相联系，学生就会知道数学同生活之间存在的联系，意识到实际生活离不开数学知识，数学知识可以指导生活实际.这样学生才能对抛物线知识产生兴趣，进而全身心地参与到相应的教学活动中.课堂上，教师可以组织一些探讨活动，让学生相互交流想法，相互学习，向其他同学分享一些关于抛物线切线问题的解题方法和技巧，从而找出自身的不足，学习到其他同学的解题方法，丰富解题思路等.在激烈的讨论过程中，学生的数学思维能力、创新能力得到培养，促使学生形成主动思考、独立解决问题、善于自主解决问题的良好习惯，让学生在提升学习能力的同时，形成数学思维.

（二）充分利用小组合作学习模式

高中数学教学中，小组合作学习模式的应用可激发学生的学习主体意识，锻炼他们的独立思考能力以及团队协作意识.教师在授课环节可以融合小组合作学习模式，将学生设定成不同的小组，以小组为单位，让学生相互合作，交流自己的想法以及从教师那里得到信息，从而构建出生生互动的效果.教师要适时给予学生指导，给他们一些解题方面的建设性意见，这就强化了教师与学生之间的互动.除此之外，在合作的过程中，小组要确定组内负责人，负责主导讨论的方向，带动小组交流，进而保证小组合作学习的效果，避免出现“乱讨论，离题讨论”的情况.

例如，关于求解切线方程的教学片段，教师可以给出典型例子，然后带领学生进行小组合作，总结出一般規律，让学生充分掌握切线方程的求解方法.

例1设抛物线的方程是x2=2py（p>0），如图1，在抛物线外有任意一点M，经M点作抛物线的一条切线，A为切点，若A点的坐标为（x1，y1），怎样用x1，y1来表示经过A点的切线方程？

教师可将学生分成不同小组，让每个小组根据以前学过的内容，探讨解题方法，探究怎样才能简便地得出切线方程.对此，各个小组均进行了激烈的讨论，然后说出了各自的解题过程，最后教师帮助学生进行了总结，主要有以下两种方法：

解法一显然所求切线斜率存在，故设直线为y-y1=k（x-x1），代入抛物线方程，

化得x2-2pkx+2p（kx1-y1）=0，利用x21=2py1及判别式为零求得k=x1p ，

代回得切线方程：y-y1=x1p（x-x1），即x1x = p（y+y1）.

解法二设所求切线斜率为k.

由x2=2py得y=x22p=f（x），故f′（x）=xp ，

则k= f′（x1）=x1p，

∴过A（x1，y1）的切线方程是：y-y1=x1p（x-x1）.

即py-py1=x1x-x21=x1x-2py1，整理得x1x = p（y+y1）.

经过讨论，学生知晓了处理抛物线切线问题的两种常用方法，得到了一个一般结论：当抛物线为x2=2py（p>0）时，以其上一点p（x0，y0）为切点的切线方程是：x0x = p（y+y0）.在此基础上，教师可继续引导学生探究当抛物线为y2=2px（p>0）时是否有类似结论，分析推导过程有何不同之处，还可以顺势拓展切点弦所在直线方程，渗透方程思想，整个教学设计引导学生积极参与，既锻炼了学生的计算能力，又构建了知识间的联系框架，提升了学生的数学思维能力和数学素养.

（三）不断加强数学课堂的实训

教学中，教师应预留出较多时间，让学生先行思考，尝试构建条件与问题之间的联系，以逐渐形成解题思维.课堂训练环节与STEAM教育理念相符合，关注对学生自主学习能力的培养，为学生构建真实情境，以激发学生学习的兴趣，能够帮助学生深刻掌握数学解题技巧，提升解题能力.通过实训，教师能够知道学生对哪些抛物线切线相关知识的理解存在不足，在接下来的教学中，教师就可以更有针对性地设计问题串，进一步提升教学效果.同时，通过实训，学生可以更透彻地理解抛物线切线的相关概念、性质、常用结论和思想方法，构建起知识网络，实现深度学习，使自身掌握的知识更加全面，解题速度更快，准确率更高.

例2设抛物线方程为x2=2py（p>0），如图2所示，M是直线y=-2p上任意一点，过M点作两条抛物线切线，切点分别为A和B，求证：A，M，B三点的横坐标构成等差数列.

解析设A和B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），M（x0，-2p）.利用上述结论可得切线MA的方程：x1x = p（y+y1），切线MB的方程：x2x = p（y+y2），两式联立消去y，可得x1+x2=2x0，即A，B，M三点的横坐标构成等差数列.

变式改变M点的位置，是否影响结论？ 抛物线为y2=2px（p>0）时又怎样？

拓展研究“阿基米德三角形”的相关概念和性质，设计如下问题串.

（1）M点的纵坐标与A，B两点的纵坐标有什么联系？

（2）M在直线y=-2p上时，切点弦AB所在直线过定点吗？反过来呢？

（3）切点弦AB所在直线过焦点F时，MA和MB垂直吗？MF和AB呢？三角形MAB的面积有最小值吗？

实践课外收集高考真题资料，通过解题理解抛物线切线的应用，发现“阿基米德三角形”的身影，撰写解题反思，构建解题模型.

四、结束语

综上所述，教师应用STEAM教育理念组织课堂教学，为学生提供探究内容，引导学生通过数学活动发现新问题，在教学中更注重知识形成过程的暴露、更注重解题思维过程的展示，强化课堂内外的动手实践，一定能进一步激发学生的学习能动性，增强学生的思维活跃性，在极大程度上优化课堂教学.同时，这样的教学模式可以促使学生在课后复盘时，能够由点及面，并进行再加工，从而形成自主运用数学概念、性质、公式、结论等解决问题的意识，不断提高创新能力，提升数学核心素养.

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