林朝晖

【摘要】高中数学立体几何的旋转体中，关于球的度量问题（表面积与体积等）是历届高考的高频考点，尤其以锥体外接球问题为考查侧重点.立体几何教学应遵循从特殊到一般的认知规律，充分利用实物模型与多媒体空间演示功能，进一步培养学生的空间想象能力，并辅以科学有效的学习方法.本文从特殊、常见、一般的锥体的外接球问题三个层面剖析如何提高球类问题的复习效果，提升学生的空间思维素养.

【关键词】外接球问题;空间想象能力;复习教学

球类问题是高考热点之一，在2019年与2020年全国一卷选择题中均有考查，且属于中高难度.往年学生对于球类题的得分率普遍较低，其根本原因是空间想象力及应对思路的欠缺.要提高学生的得分率，教师就必须有针对性地归结此类问题的应对规律，寻求思维切入点和常用手法，并加以专项训练.下面笔者谈谈高三一轮复习中关于“锥体外接球问题”的专题复习.

课程设计心得：（本文中锥、柱体均在有外接球的前提下研究，案例中的R均默认为外接球半径，球心为O）首先在上课前让学生思考以下问题：（1）初中学过的三角形、四边形的外接圆有哪些性质？（2）球的截面圆的内接等边或直角三角形应怎样科学画图才易于观察？（3）球心在相对截面小圆上的射影在什么位置？（4）三角形外接圆半径r的一般求法是什么？（5）长方体与其外接球位置之间有何特性？并在本节课开始先通过提问环节落实这些问题的答案，为下面针对性复习做好必要的铺垫.

一、引入“具有特殊棱、角位置关系的锥体”外接球问题，激发兴趣

由于长方体外接球问题是学生最容易掌握的，第一步可从特殊棱角位置题型来引入.

案例1如图1，三棱锥A-PBC中，AP垂直于平面PBC，PB垂直于PC，PB=5， PC=4 ，PA=3，求其外接球的半径.

教师引导学生：“抬头看看教室的一个角落，你会感悟到什么？”同时拿出自己制作的长方体金属框模型进行演示.学生自然联想到该问题可补形成长方体，即可通过预备中的“长方体与其外接球之间的位置特性”求解.

1.小组讨论：对于三组对棱均相等的四棱锥，如何求它的外接球半径呢？（图2）诱导学生先画出一个长方体，再进行点对点连线模仿切割体验，感受局部与整体的关联性，从而提升应变能力.

2.课堂演练：图3是一个多面体的三视图，纵横每小格长均为1个单位，试画出该多面体的示意图.本题学生在短时内作出图比较困难，若借助长（正）方体在对应点、线、面处描点A，B，C，D（如图4），即可拨云见日，巩固思维成果.

建立补形意识，寻找与长（正）方体对应的点、线、面，通过变换转化为长（正）方体外接球问题，能大大降低學生的空间想象及作图难度，增强趣味性的同时让学生建立了信心.

二、引出“常见的棱、角位置关系的锥体”外接球问题，彰显重点

由特殊题型导入，调动了学生的思维兴奋点之后，第二步可推出常见的也是重点的题型.

1.对于“侧棱相等的棱锥”的外接球问题，可引导学生抓住“一心一形（确定球心的位置及创建有效的直角三角形）”来突破

案例2若一个正四面体ABCD的棱长为3，求该四面体的外接球半径.

正四面体是最特殊的“侧棱相等的棱锥”，由此引入易于拓展.

教师可通过多媒体演示引导学生全方位观察，并让学生自行学会归纳球心的位置，建立直角三角形，尝试列出方程.教师进行规范化演示如下.

如图5，在Rt△BOH中，由勾股定理，得BH2+OH2=BO2， 列方程（3）2+（6-R）2=R2求解.

这是将一个未知边也用R来表示，建立关于R的一元二次方程的典例.

小组讨论：（1）“将正四面体改为正三棱锥，情形有何变化？”引导学生寻找异同点（侧棱长改变，本质不变），进一步提升知识迁移能力.

（2）“三条侧棱均相等的三棱锥，当底面是直角三角形时，你会联想到什么？”引导学生发现大细节中的小细节，多总结，再遇到此类问题便可极速求解.

这种通过构建关于R的一元方程思想，是该类问题的核心价值体现，加强学生这种意识的培养及定量的训练，定能收到举一反三的成效.

2.对于“锥体中有一条侧棱垂直底面”的外接球问题，可引导学生通过“垂直具有的特性”来突破

在上例的基础上，导入常见的“有一条侧棱垂直底面的锥体”外接球问题，培养学生的洞察能力.

案例3如图6，三棱锥P-ABC中，侧棱PA垂直于底面，AB=BC=3，且AB⊥BC.若其外接球的体积为48，求PA的长.

教师可利用多媒体演示引导学生交互讨论，尝试导出结论“因PA垂直底面，该侧棱两端点关于水平大圆面对称”，并进一步启发：“若AC是底面小圆面的直径，PC与球的关系是什么？”熟练运用这些对称性结论，能提高解题效率.

图6

图7

课堂演练：上例的前提不变，数量条件改为PA=BC=2，cos∠BAC=223，求球O的体积.

如图7，设r为小圆半径，而球心与小圆心的连线与PA平行，再根据对称性，得R2=r2+PA[]22，轻松获解.

一条侧棱垂直于底面的锥体的外接球问题也是较常见的，抓住关键的对称特性，并结合模型演示，可进一步增强学生的空间对称感，达到事半功倍的解题效果.

三、上升到“一般的棱、角位置关系的锥体”外接球问题，突破瓶颈

在引入特殊并导出常见题型后，可上升到在一定情境下的一般锥体的外接球问题.

1.对于“有二面角大小等条件的锥体”的外接球问题，可引导学生抓住“球心与两个相邻截面圆的位置关系”来突破

案例4如图8，三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=AC=BC=3，二面角A-BC-S的平面角为120°，若该三棱锥内接于球O，求球O的体积.

要点引导：如图9，先确定球心的位置，当条件中有二面角大小时，可结合二面角定义在Rt△OBD中求解.

小组讨论：（1）进一步特殊化，“已知四面体S-ABC满足AB=BS=SC=CA=2，BC=22，求四面体S-ABC外接球的半径.”

（2）进一步拓展：“当二面角的两个半平面相互垂直时，该四边形是什么四边形？”

由一般性问题推敲特殊细节，可进一步提升学生的持续性思维素养.

难点延伸：“面面垂直情形下，一般地，如果面PAB⊥面ABC，两个三角形外接圆圆心在三角形外时球心的位置应如何找到？”

图10

在多媒体动态演示下引导学生动手画出矩形OO1DO2如图10所示，再根据题设在Rt△AOO2中列方程求解.

本题型是训练空间想象力的极好素材，可有效提高学生的空间搭建能力，通过层层变式，一般与特殊之间关系的相互转化，就可将所学知识运用自如.

2.对于“有一个侧面垂直底面的锥体”的外接球问题，可引导学生运用“二元方程组思想”来突破

图11

案例5如图11，四棱锥P-ABCD中，平面PCD垂直于正方形ABCD，AB=2，PC=PD，E是DC的中点，PE=3，求该四棱锥外接球的体积.

讨论并尝试列式：列一元方程易求解吗？若不易，能否列二元方程求解呢？

如设OO1=m，引导学生在底部和顶部不同方位分别构造直角三角形，（提问：为什么是选取不同方位的直角三角形？）列二元方程组：R2=m2+2及R2=（3-m）2+12，消元即可.锥体外接球问题列二元方程组求解的类似题型很多，教师可以特征典例訓练学生举一反三的能力.

树立方程组思想，不拘于思维定式，将一个关键量以不同角度运用两次，在立体几何运算与解三角形板块中是一种常用的发散思维，应加强培养学生的这种能力.

文末，笔者给学生梳理出本节专题复习课解决“锥体外接球问题”的思维导图如下.

四、结语

对于本专题复习课，教师要善于引导学生总结锥体与球的各种位置特性，引导学生紧扣“一心一形”，即先确定球心的位置，寻找有效的直角三角形，架构度量间的勾股关系（方程或方程组），树立设元消元的思想，灵活辗转于特殊与一般的本质联系，加强实物模型观察与多媒体演示，提升空间思维素养，加以针对性题型训练，学生具备了各种常见的应对策略后，自然会消除畏难情绪，应考能力自然水涨船高.

【参考文献】

[1]黄家礼.几何明珠：第三版[M].北京：国家行政学院出版社，2014.

[2] 甘志国.高中数学题典：立体几何[M].黑龙江：哈尔滨工业大学出版社，2106.