杭州第十四中学(310006) 朱成万

在平面几何中, 相交弦定理、切割线定理及割线定理统称为圆幂定理. 该定理表示过一定点作两条直线与圆相交,则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等,且积为定值. 即设圆O半径为r, 过一定点P作两条直线分别与圆O相交于A,B和C,D, 则PA·PB=PC ·PD这个定值为叫做点P关于⊙O的幂.

当点P在圆内时,为相交弦定理(图1);当点P在圆外时为切割线定理,即点C,D重合时,为切线定理(图2),否则为割线定理(图3).

图1

图2

图3

圆幂定理与许多数学问题有紧密联系, 比如极化恒等式、米勒问题、四点共圆问题等,研究它们的联系,能加深对问题的理解,揭示问题的本质所在.

一、极化恒等式与圆幂定理

设a,b是两个平面向量,则:

我们称式(1)为极化恒等式. 如图4 所示,式(1)也可表述为:

图4

我们可以用极化恒等式来证明圆幂定理, 如图5 所示,设PB是圆O的切线,B为切点,则

图5

显然,式子(2)(3)不论是代数表述,还是几何含义都是一致的. 不仅揭示了三角形的中线与边长的关系,更揭示了圆幂定理和极化恒等式的内在联系.

下面试举两例,体会它们在解题中的妙用.

例1(2020年江苏重点中学联考试题改编) 设椭圆+y2= 1,F是椭圆C的右焦点, 点M是直线l:x= 2 上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求线段ON的长.

解法一(圆幂定理) 如图6, 因为OM⊥NF于Q,OP⊥l于P, 所以P,F,Q,M四点共圆, 由圆幂定理有OQ · OM=OF · OP= 1×2 = 2, 由题知ON2=|OQ||OM|= 2, 所以

图6

解法二(极化恒等式)设F(1,0),M(2,m),则MF的中点由题知

本题的两种解法,用圆幂定理与用极化恒等式本质上是一致的. 相……