安徽省合肥市第四中学(230000) 郑 良 钱兆云

根据对数的定义有: (1)logaab=b(a ＞0 且a /= 1);(2)alogaN=N(a ＞0 且a /= 1,N ＞0). 大家常常把两个公式叫做对数恒等式.[1]以上两个等式从左向右为式子的化简,可视为正用,学生一般不会出现问题;从右到左,由(1)可知任意实数均可写成对数的形式,由(2)可知任意正数均可写成指数的形式.它需要根据所要求解与求证问题的结构调整,可视为逆用,具有一定的灵活性.对于由指数型函数、对数型函数、幂函数型函数等构成的特殊问题,若能合理借助上述对数恒等式(主要指逆用),往往使问题迎刃而解或解题(证明)过程得到优化.

一、真题呈现

1 借助同构构建函数

同构式是指变量不同、结构相同的表达式,多表现为函数对称性的应用.[2]若已知函数f(x)的解析式,正向代入容易得到f(x1),f(x2),反过来,若给出f(x1),f(x2)及变形形式,逆向抽象(构造)出函数f(x)则相对困难,它需要解题者根据结构的相似性进行(不断地)调适,实现相同结构形式的还原与配凑.

例1(自编题)已知函数f(x) =xex(e 为自然对数的底数),g(x) =xlnx,若f(x1) =g(x2) =t,其中t ＞0,则的取值范围是____.

解法1x1ex1=x2lnx2=t,由t ＞0,得x1＞0,x2＞1,所以lnx2＞0,由对数恒等式(2)得x2lnx2=lnx2elnx2=t,由f′(x) = (x+1)ex,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 由f(x1) =g(x2) 知f(x1) =f(lnx2), 又x1＞0,lnx2＞0,得x1=lnx2. 所以

设h(t) =则h′(t) =当t ∈(0,e) 时,h′(t)＞0,函数h(t)单调递增,当t ∈(e,+∞)时,h′(t)＜0,函数h(t) 单调递减, 故h(t) ≤h(e) =当t →0 时,h(t)→-∞;当t →+∞时,h(t)→0,所以的取值范围是

解法2由对数恒等式(1) 得f(x) =xex= exlnex,由x1ex1=x2lnx2=t, 由t ＞0, 得x1＞0,x2＞1, 所以x2＞1.g(x) =xlnx,g′(x) = lnx+1, 则函数g(x)在上单调递增. 由ex1lnex1=x2lnx2=t, 即g(ex1) =g(x2),而ex1,x2∈(1,+∞),所以ex1=x2. 所以下同解法1.

点评求解目标中含有相互关联的三个量x1,x2,t, 消元是解题的基本方向, 是局部消元(如直接建构x1与x1分别关于t的函数)还是整体消元(x1x2整体关于t的函……