考虑中间主应力的非饱和土上埋式涵洞竖向土压力公式

2021-11-13张常光李宗辉关港辉

建筑科学与工程学报 2021年6期

张常光，吴凯，李宗辉，关港辉

(1. 长安大学建筑工程学院，陕西西安 710061；2. 成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，四川成都 610059)

0 引言

上埋式涵洞作为涵洞的两大主要类型之一，在交通、水利、油气输送等工程中得到了广泛应用。竖向土压力是上埋式涵洞设计所依据的主要荷载，合理确定竖向土压力对保障涵洞结构安全性和经济性具有重要意义。以往上埋式涵洞竖向土压力研究主要针对的是饱和土[1-8]，采用Mohr-Coulomb强度准则[1-7]，只有少数考虑了中间主应力[8]。然而，工程实践中遇到的土体大多处于非饱和状态(地下水位之上)[9]，应考虑土体非饱和特性即基质吸力对上埋式涵洞竖向土压力的影响。

有关非饱和土浅埋结构竖向土压力的研究鲜有报道，蔺港等[10]基于Fredlund双应力状态变量抗剪强度公式，推导了非饱和土Trapdoor问题的松动土压力解答；Alzabeebee[11]通过有限元模拟比较了饱和土与非饱和土回填时地下涵管的性态差异，指出考虑填土的非饱和特性能实现更可靠的结构设计；Fang等[12]基于Bishop有效应力抗剪强度公式，获得了非饱和土浅埋隧道竖向土压力的隐式积分公式。上述非饱和土竖向土压力分析均依据Mohr-Coulomb强度准则，没有考虑中间主应力对非饱和土强度的提高作用。同时，非饱和土强度的真三轴试验表明[13-17]：非饱和土强度的中间主应力效应显著，不考虑中间主应力将明显低估非饱和土的真实强度。应考虑基质吸力与中间主应力的共同影响，获得符合土体实际工程特性的上埋式涵洞竖向土压力解答。张常光等[18]提出的非饱和土平面应变抗剪强度公式能合理反映中间主应力对非饱和土的强度提升，已在挡墙土压力、地基承载力和边坡稳定性等计算中得到很好的应用[19-23]。

因此，本文基于非饱和土的平面应变抗剪强度公式，结合基质吸力的2种常见分布形式，建立非饱和土上埋式涵洞竖向土压力公式，并对所得解答进行可比性分析与对比验证，最后探讨各参数的影响特性。所得结果可为上埋式涵洞优化设计提供一定的理论指导。

1 基本理论

1.1 上埋式涵洞

图1中上埋式涵洞及周围非饱和土处于平面应变状态，忽略涵洞和原地面的微小变形，并假设竖向土压力沿洞宽均匀分布。因涵洞刚度远大于洞两侧回填土刚度，涵洞上方内土柱的固结沉降小，洞两侧外土柱的固结沉降大，故在涵顶以上某一填土高度范围内，内土柱的沉降量小于外土柱的沉降量，即二者存在固结沉降差，使得外土柱对内土柱产生向下的滑动摩擦力。内外土柱间的固结沉降差随填土高度的增加而不断减小，内外土柱固结沉降量相等并趋于稳定时的填土面称为等沉面，等沉面到涵顶的距离即为等沉面高度Hc。由涵顶算起的填土高度为H，等沉面以上填土高度记为H1，h为涵洞高度，D为涵洞宽度，Dw为地下水位。

图1 上埋式涵洞力学模型及基质吸力分布Fig.1 Mechanical Model of Positive Buried Culvert and Distributions of Matric Suction

1.2 非饱和土平面应变抗剪强度公式

张常光等[18]将统一强度理论[24]和Fredlund双应力状态变量抗剪强度公式[25]相结合，由拓展类比方法提出的非饱和土平面应变抗剪强度公式为

(1)

式(1)与非饱和土Fredlund双应力状态变量抗剪强度公式的形式相同，但通过参数b能合理反映中间主应力效应和强度准则选择，b=0时式(1)退化为基于Mohr-Coulomb强度准则的Fredlund双应力状态变量抗剪强度公式[25]，参数b=1时为基于双剪应力强度理论的抗剪强度公式，0

1.3 基质吸力分布

基质吸力及其分布与降雨、蒸发和覆盖层等外部环境有关，工程应用时常近似为图1中的2种简单稳态情况[18-22]：沿深度的均匀分布和沿深度的线性分布。当基质吸力线性减小至地下水位Dw处为0时，自填土面起算，某深度z处的基质吸力(ua-uw)z为

(2)

式中：(ua-uw)0为地表基质吸力。

2 竖向土压力公式

依据基质吸力的2种分布形式，分别建立上埋式涵洞的竖向土压力公式，且每种基质吸力分布下又区分是否存在等沉面。

2.1 均布吸力

2.1.1 不存在等沉面即H

在图1填土面以下深度z处，取厚度为dz、纵向单位长度的内土柱薄层单元进行受力分析，如图2所示，其中，σh-ua为净侧向土压力，σz-ua为净竖向土压力，τ为内外土柱间的摩擦力。

图2 内土柱薄层单元受力分析Fig.2 Force Analysis of Thin Layer Element from Inner Soil Column

由内土柱薄层单元的竖向力平衡得

dW+2τdz-Dd(σz-ua)=0

(3)

dW=γDdz

(4)

式中：dW为内土柱薄层单元的质量；γ为非饱和土的重度。

由于内外土柱滑动面处的非饱和土处于极限平衡状态，故内外土柱间的滑动摩擦力τ达到非饱和土的平面应变抗剪强度τf，即

(5)

式中：K为侧压力系数，可通过试验实测或由土拱理论计算确定，一般介于主动土压力系数与静止土压力系数之间，本文偏于保守采用Rankine主动土压力系数即K=tan2(45°-φ′/2)。

将式(4)和式(5)代入式(3)，整理得

(6)

式(6)为一阶常系数非齐次线性微分方程，结合边界条件z=0时σz-ua=0，可求得基质吸力均匀分布时上埋式涵洞的竖向土压力公式为

(7)

在式(7)中令z=H，则得涵顶处的竖向土压力公式为

(8)

2.1.2 存在等沉面即H≥Hc时的均布吸力

仍在填土面以下深度z(z>H1)处取内土柱的薄层单元进行分析，所列竖向力平衡方程即式(6)不变，但边界条件变为z=H1时σz-ua=γH1，可求得基质吸力均匀分布时上埋式涵洞的竖向土压力公式为

(9)

令z=H且Hc=H-H1，可得涵顶处的竖向土压力公式为

(10)

2.2 线性吸力

2.2.1 不存在等沉面即H

当基质吸力线性分布时，所取的内土柱薄层单元不变，其竖向力平衡可表示为

(11)

式(11)仍为一阶常系数非齐次线性微分方程，结合边界条件z=0时σz-ua=0，可求得基质吸力线性分布时上埋式涵洞的竖向土压力公式为

(12)

令z=H，可得涵顶处的竖向土压力公式为

(13)

2.2.2 存在等沉面即H≥Hc时的线性吸力

同理，可求得基质吸力线性分布时上埋式涵洞的竖向土压力公式为

(14)

令z=H且Hc=H-H1，可得涵顶处的竖向土压力公式为

(15)

2.3 等沉面高度

如图1所示，当内土柱的压缩量ΔI等于外土柱的压缩量ΔII时可得等沉面高度Hc。以基质吸力均匀分布为例，由式(9)得内土柱在填土面下深度z(z>H1)处的竖向土压力(σz-ua)I为

(16)

外土柱在填土面下深度z处的竖向土压力(σz-ua)II可近似表示为

(σz-ua)II=γz

(17)

由于(σz-ua)I和(σz-ua)II的差值引起内土柱侧向膨胀、外土柱侧向压缩，内外土柱间的侧向土压力(σh-ua)I-II取为[26]

(18)

式中：μ为回填土体的泊松比。

根据弹性力学方法，内土柱的压缩量ΔI为

(19)

式中：E为回填土的弹性模量。

外土柱的压缩量ΔII为

(20)

结合等沉面形成条件即ΔI=ΔII，由式(19)和式(20)可迭代求出等沉面高度Hc，基质吸力线性分布时亦可按此思路求解。可见，等沉面高度Hc与涵洞周围填土的应力状态密切相关，与填土高度、填土物理力学性质、中间主应力效应、基质吸力及其分布等也相关。

2.4 可比性分析

基于非饱和土平面应变抗剪强度公式所建立的上埋式涵洞竖向土压力公式[式(7)和式(9)、式(12)和式(14)]，不是一般的一个特解，而是一系列有序解析解的集合，可以合理反映中间主应力、基质吸力及其分布(沿深度均匀分布和线性分布)的综合影响，并能计算涵顶上方不同高度处的竖向土压力，具有广泛的理论意义和工程应用前景。

当(地表)基质吸力为0时，式(7)和式(12)的结果相同，式(9)和式(14)的结果相同，且都退化为基于统一强度理论的饱和土上埋式涵洞竖向土压力公式[8]，其中参数b=0时为基于Mohr-Coulomb强度准则的Marston公式[1]。当(地表)基质吸力大于0时，对应非饱和土上埋式涵洞竖向土压力的系列化有序解析解(参数b∈[0，1])，以供实际工程优选。

因此，本文竖向土压力公式具有很好的可比性，能退化为文献已有解答[1,8]且包含众多新解答，可适用于不同的工程情况，这也是对本文公式的必要性验证。

3 对比验证

3.1 数值模拟验证

张业勤等[7]采用有限差分软件FLAC 3D对上埋式涵洞的竖向土压力进行了数值模拟，涵洞宽度D为7 m，高度h为6 m。回填土为饱和砂土，弹性模量E为60 MPa，泊松比μ为0.3，重度γ为21.4 kN·m-3，有效黏聚力c′为0 kPa，有效内摩擦角φ′为30°。文献[7]采用未考虑中间主应力的Mohr-Coulomb强度准则，对应式(1)中的参数b=0。图3为非减载条件下本文涵顶竖向土压力计算值与数值模拟结果的对比，等沉面高度Hc也一并标出。当填土高度H

图3 涵顶竖向土压力计算值与饱和砂土数值模拟结果的对比Fig.3 Comparison Between Calculation Values of Vertical Earth Pressure at Culvert Top and Numerical Simulation Results of Saturated Sand

由图3可知，在最大填土高度为20 m的范围内，本文涵顶土压力计算值与文献[7]数值模拟结果吻合较好，二者平均相对误差(绝对值)为2.7%，验证了本文式(8)和式(10)的正确性。

3.2 模型试验验证

边学成等[4]开展了上埋式涵洞竖向土压力的平面应变模型试验，模型槽的尺寸为15 m(长)×5 m(宽)×6 m(高)，涵洞的等效直径即洞宽D为3.5 m，高度h为2.5 m。分层填土，每层厚度为0.5 m，最终填土高度为3.5 m。利用回填饱和粉土时实测的涵顶竖向土压力进行分析，饱和粉土的重度γ为18 kN·m-3，弹性模量E为15 MPa，泊松比μ为0.35，有效黏聚力c′为8 kPa，有效内摩擦角φ′为28°。图4为本文涵顶竖向土压力计算值与饱和粉土模型试验实测值的对比，其中参数b=0，0.25，0.5，1，且由不同b值计算所得等沉面高度Hc均大于对应的填土高度，故由式(8)计算涵顶竖向土压力。

图4 涵顶竖向土压力计算值与饱和粉土模型试验结果的对比Fig.4 Comparisons Between Calculation Values of Vertical Earth Pressure at Culvert Top and Model Test Results of Saturated Silt

由图4可知，参数b=0.25时式(8)计算涵顶竖向土压力与文献[4]模型试验实测值吻合得很好，二者平均相对误差(绝对值)为1.6%，进而验证了本文式(8)的正确性，也表明该饱和粉土强度可用参数b=0.25时的式(1)确定。参数b=0时涵顶竖向土压力的计算值偏小，说明不考虑中间主应力将低估上埋式涵洞主要的设计荷载，基于此的涵洞结构设计偏于危险；参数b=1时涵顶竖向土压力的计算值明显偏大，说明参数b=1夸大了中间主应力对试验所用饱和粉土强度的提升作用。

4 参数分析

本文主要探讨基质吸力、中间主应力及填土高度对上埋式涵洞竖向土压力的影响特性。设定某一上埋式涵洞算例进行参数分析，该算例的基本参数为：涵洞宽度D=1.6 m，高度h=1.6 m，涵顶以上填土高度H=2 m，地下水位Dw=6 m，即在原地面以下2.4 m处；回填非饱和砂土的重度γ=16.5 kN·m-3，弹性模量E=20 MPa，泊松比μ=0.3，有效黏聚力c′=0 kPa，有效内摩擦角φ′=30°，吸力角φb=15°。

4.1 基质吸力

基质吸力影响包括基质吸力的大小和分布2个方面，基质吸力为0时对应饱和土。图5给出了统一强度理论参数b=0，0.5，1时，均匀与线性吸力分布下涵顶竖向土压力(σz-ua)z=H与基质吸力的变化关系，等沉面高度Hc均大于2 m厚的填土高度。

图5 基质吸力对涵顶竖向土压力的影响Fig.5 Influence of Matric Suction on Vertical Earth Pressure at Culvert Top

由图5可知，随着基质吸力ua-uw或地表基质吸力(ua-uw)0的增加，涵顶竖向土压力线性增大，且参数b越大，涵顶竖向土压力的变化速率亦越大。同时，均布吸力下基质吸力影响比线性吸力下的明显，且均布吸力下的竖向土压力较大。对比图5(a)和图5(b)得出，由于基质吸力的增加，2种吸力分布的竖向土压力差异也在增大。若不考虑基质吸力沿深度的变化而按均布吸力计算，将得到较大的竖向土压力，基于此的涵洞结构设计偏于保守，易造成不必要的浪费，应考虑回填土基质吸力的显著影响并实测吸力分布形式。

4.2 中间主应力

不同的统一强度理论参数b对应不同的强度准则和不同程度的中间主应力效应，参数b越大中间主应力效应就越强。图6给出了基质吸力取0，40，80 kPa时，均匀与线性吸力分布下涵顶竖向土压力(σz-ua)z=H与参数b的变化关系，且等沉面高度Hc均大于2 m厚的填土高度。

图6 中间主应力对涵顶竖向土压力的影响Fig.6 Influence of Intermediate Principal Stress on Vertical Earth Pressure at Culvert Top

由图6可知，随着参数b即中间主应力效应的增加，涵顶竖向土压力近似呈线性增大，且基质吸力越大，涵顶竖向土压力增加的越明显。同时，均布吸力下的中间主应力效应要强于线性吸力下的。对比图6(a)和图6(b)得出，均布吸力下的涵顶竖向土压力大于线性吸力下的，且由于参数b的增大，2种吸力分布的竖向土压力差异也在加剧。应选取合理的参数b以考虑回填土强度的中间主应力效应，保证涵洞结构设计的安全性和经济性。

4.3 填土高度

涵洞竖向土压力与填土高度相关，假定最终填土高度为12 m。随着填土高度H的变化，基质吸力也发生变化，可按原地面处负的静水压力即ua-uw=γw(2.4+D+H)，(ua-uw)0=γw(2.4+D+H)来确定，其中水重度γw=9.8 kN·m-3，原地面的地下水位为2.4 m。

图7给出了统一强度理论参数b=0,1时，均匀吸力与线性吸力分布下不同位置处(涵顶z=H，涵顶以上0.5倍洞宽z=H-0.5D，涵顶以上1倍洞宽z=H-D)竖向土压力与填土高度H的变化关系。图8为涵顶竖向土压力(σz-ua)z=H的相应变化，需依据等沉面高度Hc与填土高度H的相对关系和吸力分布形式，选择对应的涵洞竖向土压力计算公式。