张忠

摘 要：有效的数学课堂结构主要包括问题情境、建构活动、数学化认识、基础训练和拓展延伸五个部分。我们数学教学关注全体学生在“基础知识、基本技能、基本思想、基本经验”方面发展的前提下，还要精心设计“拓展延伸”教学内容，引导学生的思维活动，拓展他们的思维空间，进而提高他们的综合数学素养。恰当、适度地拓展延伸教学内容，往往就来源于教材文本，本文结合相关案例从不同视角阐述对“拓展延伸”设计的认识。

关键词：拓展延伸;挖掘教材;数学素养

“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”因此，数学教师应认真研读《标准》和教材，明确每节课的教学目标，从中挖掘出相关素材进行有效设计、优化课堂教学结构。下面，笔者结合相关案例从不同视角阐述对“拓展延伸”设计的认识。

一、数学思想方法的横向拓展

1.案例1

由于三角形全等是三角形相似的特殊情况，所以在设计苏科版教材九年级下《6.4探索三角形相似的条件》教学时，我没有完全按照教材的体系进行教学，而是把教学目标由“课时目标”调整为“单元目标”，即类比三角形全等的定义和判定方法的探索进程，将教材内容进行整合，在第一课时就先搭建起“探索三角形相似的条件”的框架，然后在后续的课上再对每一种判定方法进行推理说明、应用，从而使学生对本单元的研究与探索有一个整体的认识。于是，在第一节课我设计了三个问题让学生思考或討论：

问题1.回忆相似三角形的定义。

问题2.回忆全等三角形的定义，并与相似三角形定义比较有何异同。

问题3.回忆全等三角形的判定方法，由此猜想两个三角形相似需要具备哪些条件？

然后引导学生猜想并画出三角形相似与全等之间的结构图（如图1）。

2.有效性分析

本案例运用类比的思想方法，很容易引导学生建构起上述的知识体系，同时能感悟到对于三角形全等或相似的判定，定义是最基本的方法，而从定义到一般的判定方法的猜想与探索就是一个条件弱化、减少的过程;而对于直角三角形全等的判定，不仅可用一般三角形全等的判定方法也有它自身的特殊方法;类似地，直角三角形相似的判定是否也有更简单的方法呢？笔者留了一个问号，让有兴趣的同学在本单元的学习结束后继续去猜想、探索，以此培养学生要注重新知识的探索方法与形成过程，而不是简单的结果，这种通过数学思想方法的横向拓展训练，可最大化地提高课堂教学效益，引导学生进行有效的数学思考，开阔他们的数学视野。

二、数学知识结构的纵向拓展

1. 案例2

在四边形的探索研究中，我们得到结论“依次连结一个任意四边形各边中点，所得到的四边形一定是平行四边形”，即：如图2，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为各边的中点，则四边形EFGH是平行四边形。这里综合地考察了“三角形中位线性质定理”和“平行四边形的判定定理”。

图中四边形EFGH一般称作“中点四边形”，它的形状只与四边形ABCD的对角线AC、BD的数量、位置有关;同时，它的面积与四边形ABCD的面积也有关系。因此，在上述基础上，我们作如下的再探索和思考。

探索一：

如图3，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为各边的中点，四边形EFGH一般称作“中点四边形”。连结AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形。

（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形EFGH的形状也随之改变，通过探索发现：

当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时，四边形EFGH是菱形;

当四边形ABCD的对角线满足         时，四边形EFGH是矩形;

当四边形ABCD的对角线满足         时，四边形EFGH是正方形;

（2）探索△AEH、△CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论并加以证明;

（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积为多少？

探索二：

如图4，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DE的中点，EG与FH相交于O点。

（1）猜想EG与FH有怎样的关系？并证明你的结论。

（2）请添加一个条件               ，使得EG与FH互相垂直。（3）若四边形AEOH、BEOF、CFOG的面积分别为15、17、16，求四边形DGOH的面积;若四边形AEOH、四边形BEOF、四边形CFOG、四边形DGOH的面积分别为S1、S2、S3、S4，利用（3）的计算结果;直接写出S1、S2、S3、S4它们之间的关系。

2.有效性分析

本案例是对教材文本内容的再思考、再探索，深层次地进行了“挖掘”，并与相关问题进行了适当的联系，是对数学知识结构的纵向拓展。这个问题有较强的探究性，思维要求较高，故对不同的学生应加以分层要求，可以放到课后让学生思考、探究，甚至合作完成，这样即有助于学生对“中点四边形”的全面理解，起到举一反三、触类旁通的效果，又能引导学生形成动态、全面地思考认识问题的习惯，教师平时应该多引导学生多进行这样的总结和反思，反思题目的条件与结论之间的关系及分析思路、结论是否能推广，反思如何引导学生从中进行创造性思维的活动、多角度思考问题及多种方法解决问题，从而提高学生的思维能力及学习数学的兴趣。

三、数学活动经验的横向拓展

1.案例3

在苏科版数学八年级下册我们学习了分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不改变，即 =，=（其中B≠0，M为整式且M≠0）。

勤学善思的小明同学对此性质产生了疑问： 分式的分子和分母都加上（或减去）同一个不等于0的整式 ，分式的值会怎样呢？即  = （其中B≠0，M为整式且M≠0）成立吗？

我们先来解决一个身边的问题：

一般地，在水中加入的糖越多，糖全部溶解后糖水就越甜。将A克白糖加水配制成B克糖水（B>A>0），此时糖水中的含糖量为;若再加入M克白糖（M >0），待全部溶解后糖水中的含糖量变为。根据生活经验，我们可以得到一个不等式： < ，你能说明其中的道理吗？

实际上， - = = ，因为B>A>0，M>0，则>0，即 <，由此可知，一般地 ≠（其中B≠0，M为整式且M≠0）。

2.有效性分析

上述案例是对分式性质的再思考，所产生的问题是对学生原有的数学知识、经验的一个横向拓展，部分学生很自然产生一个疑问。而问题的探索与解决，则先是在生活经验的基础上去思考，然后主要通过“作差”、分式的运算来比较分式值的大小，其中的“作差”、分式的运算是学生已有的数学活动经验，这样较直观地用所学的知识解决了小明的疑问，从而对分式的性质有了更深的理解。这种有效性设计，就是让学生感悟到数学的学习不能只停留在对教材的理解和掌握上，而应有更开阔的视野和认识。

利用上述结论，我们还可以解决下面的问题。

如图5，矩形草坪的长为a米，宽为b米（a>b>0），沿草坪四周外围有条宽为x米（x>0）的环行小路。

（1）草坪的宽与长的比值m=        ，外围宽与长的比值n=           （用含有a、b、x的代数式表示）;

（2）請比较m与n的大小;

（3）图中的两个矩形相似吗？为什么？

分析：（1）m=，n=;

（2）由上述材料可知：<即m < n;

（3）图中两个矩形不相似，理由：虽然这两个矩形的4个角都对应相等（都是直角），但由<可知，它们的4条边不对应成比例，所以它们不相似。

以上是从三个不同方面简要地介绍了从教材文本中挖掘素材进行有效的拓展延伸设计，这些只是有效教学设计的一个环节。其实有效的课堂教学设计还有很多课题值得研究，我们数学教师要认真钻研教材，创造性地运用教材，把握教材的编写意图及结构框架，让教学设计逐渐完善、有效，让学生的学习更加主动、富有个性化，学生的学习活动应是拓展延伸的集散地，这就要求我们在数学本质上聚焦教学活动[2]，从而实现人人都有不同的发展，最终会学数学，提高综合数学素养。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[S].北京师范大学出版社.2011

[2]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M] .西安：陕西师范大学出版社.2018.137