吕孝莉

简单多面体的欧拉公式为 V + F - E =2，其中 V 、 F 、E 分别为简单多面体的顶点数、面数和棱数.而我们所熟悉的凸多面体就是一种简单的多面体.多面体的欧拉公式在解题中应用广泛，尤其在解答与总内角和、与面的特征、与棱的个数相关的问题中运用多面体的欧拉公式，能有效提升解题的效率.下面列举几个典型的例题来进行说明，以供读者朋友们参考.

例1.已知一个凸多面体的棱数为30、面数为12，那么这个多面体的各个面上多边形的内角总和为多少？

解析：由题意可知，凸多面体的棱数为30、面数为12，根据欧拉公式可得多面体的顶点数为 V = E - F +2=30- 12+2= 20，所以各个多边形内角的总和为（V -2）× 360°=18× 360°= 6480°，故各个面上多边形的内角总和是6480°.

解答本题，只需直接运用多面体的欧拉公式.我们只要求出了多面体的顶点数 V ，再根据公式就能得出多面体的内角总和.一般地，多面体的所有面的内角总和为（V -2）× 360°.

例2.若一个正多面体各个面的内角总和是3600°，请问它有几个面？

解析：根据正多面体的性质可知：正多面体的每个面的边数是相同的，可设其为 m ，则根据题意有 F（m -2）× 180°= 3600°，即 F·（m -2）= 20.又因为 mF =2E ，将其代入上式可得 E = F +10，再将其代入欧拉公式 V + F - E =2得 V =12.而正多面体的每个顶点处的棱数相同，可设为 n ，所以2E = nV ，于是有 E =6n ， ，将其代入欧拉公式得 ，即

多面体各个面的边数 m ≥3，且每个顶点处的棱数满足3 ≤ n ≤5 .当 n =3或 n =4时，（∗ ）式中的 m 无整数解;当 n =5时，由（∗ ）得 m =3，所以 E =30，F =20.综上可知多面体的面数 F =20，同时也可得顶点数为12、棱数为30.所以此正多面体有20个面.

此题相对复杂，在解……