吕孝莉

简单多面体的欧拉公式为 V + F - E =2，其中 V 、 F 、E 分别为简单多面体的顶点数、面数和棱数.而我们所熟悉的凸多面体就是一种简单的多面体.多面体的欧拉公式在解题中应用广泛，尤其在解答与总内角和、与面的特征、与棱的个数相关的问题中运用多面体的欧拉公式，能有效提升解题的效率.下面列举几个典型的例题来进行说明，以供读者朋友们参考.

例1.已知一个凸多面体的棱数为30、面数为12，那么这个多面体的各个面上多边形的内角总和为多少？

解析：由题意可知，凸多面体的棱数为30、面数为12，根据欧拉公式可得多面体的顶点数为 V = E - F +2=30- 12+2= 20，所以各个多边形内角的总和为（V -2）× 360°=18× 360°= 6480°，故各个面上多边形的内角总和是6480°.

解答本题，只需直接运用多面体的欧拉公式.我们只要求出了多面体的顶点数 V ，再根据公式就能得出多面体的内角总和.一般地，多面体的所有面的内角总和为（V -2）× 360°.

例2.若一个正多面体各个面的内角总和是3600°，请问它有几个面？

解析：根据正多面体的性质可知：正多面体的每个面的边数是相同的，可设其为 m ，则根据题意有 F（m -2）× 180°= 3600°，即 F·（m -2）= 20.又因为 mF =2E ，将其代入上式可得 E = F +10，再将其代入欧拉公式 V + F - E =2得 V =12.而正多面体的每个顶点处的棱数相同，可设为 n ，所以2E = nV ，于是有 E =6n ， ，将其代入欧拉公式得 ，即

多面体各个面的边数 m ≥3，且每个顶点处的棱数满足3 ≤ n ≤5 .当 n =3或 n =4时，（∗ ）式中的 m 无整数解;当 n =5时，由（∗ ）得 m =3，所以 E =30，F =20.综上可知多面体的面数 F =20，同时也可得顶点数为12、棱数为30.所以此正多面体有20个面.

此题相对复杂，在解题时，我们需抓住欧拉公式中的几个主要元素来建立等式，才能顺利解出.在解题时，还用到了有关多面体的欧拉公式的两个重要结论：（1）若多面体的每个面都是 m 边形，则 mF =2E ;（2）若多面体从每个顶点出发都有 n 条棱，则nV=2E 。

例 3.一个多面体的每个面都是三角形的凸多面体，其面数与顶点的比是4：3，试问此多面体是几面体？

解析：由于多面体的每个面都是三角形，由面数和棱数的关系可知3F =2E ，即 ①.又已知 F：V =4：3，则 ②，将①②代入欧拉公式 V + F - E =2，可得 F =8，即此多面体是八面体.

解答本题，同学们只要抓住欧拉公式中的关键元素：顶点数、面数和棱数，结合题意求出这些关键元素，将其代入欧拉公式就能求得问题的答案.

例4.已知铜的单晶外形是一个简单几何体，其中单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果已知銅的单晶有24个顶点，且以每个顶点为一端都有3条棱，试判断此单晶铜有多少个晶面？

解析：根据铜的单晶外形有两种晶面，可设单晶铜有 x 个三角形晶面、y 个八边形晶面，则 F = x + y .又知道单晶的顶点数 V =24，而每个顶点处有3条棱，则 ，从而有 ，将其代入欧拉公式可得 ， 解此方程组可得 ， 所以此单晶铜有8个三角形晶面，6个八边形晶面，共有14个晶面.

解答本题，需分两种情况进行讨论，我们通过设未知数，根据多面体的欧拉公式建立方程组，通过解方程组便可求得问题的答案.

例5.请问正多面体共几种？并说明理由.

解析：由于正多面体的每个面都是多边形且边数相等，由同一顶点出发的棱数也相等，可设正多面体的每个面为 n 边形，每个顶点发出 m 条棱，则有nF=2E ， mV =2E ，将其代入欧拉公式得  ，则2n +2m - mn>0，即2n > m（n -2） ，所以 ，得3 ≤ n <6.

注意到 为整数，用特殊值验算知，当 n =3时，有 ;当 n =4时，有 ;当 n =6时，有 ， 综上可知，满足条件的正多面体只能有5种，即正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体.

由于正多面体具有一定的特殊性，所以在确定正多面体应满足的条件后，可根据欧拉公式建立关系式，再将特殊值代入关系式中进行验算，就能确定可能出现的不同情况，从而作出解答.

总之，多面体的欧拉公式在解答与总内角和、与面的特征、与棱的个数相关的问题中发挥着重要的作用.在解题时，灵活运用多面体的欧拉公式及其相关结论，能有效地提升解题的效率.

（作者单位：山东省济宁市泗水县第一中学）