傅云平

概率是高中数学中的重要内容，概率问题主要考查事件发生的几率.概率问题一般比较抽象，解法灵活，很多同学在解题时不得要领，无法得到正确的答案.本文重點谈一谈解概率题的三种常用方法，以帮助同学们提升解概率题的效率.

一、枚举法

枚举法是指将所有可能的情况一一列举，然后根据条件进行判断，得出问题答案的方法.在运用枚举法解答概率问题时，我们可以根据题意将所有可能的情况一一列举出来，找出满足题目要求的情况，再运用古典概型概率公式求出事件发生的概率.

例1.一个不透明的纸箱中装有大小、形状相同的红、黑小球各一个，现进行摸球游戏，随机摸取三次，每次摸取1个，每次摸取的球在下一次摸取前放回纸箱中.那么摸到1个红球、2个黑球的概率是多少？

解析：每次摸到的小球不是红球就是黑球，摸三次的结果一共有以下8种：①红球、红球、红球，②红球、红球、黑球，③红球、黑球、红球，④黑球、红球、红球，⑤红球、黑球、黑球，⑥黑球、红球、黑球，⑦黑球、黑球、红球，⑧黑球、黑球、黑球.其中摸到1个红球、2个黑球的情况有3种，即摸到1个红球、2个黑球的概率是 .

对于事件发生的情况较少的问题，我们采用枚举法，把所有可能出现的情况一一罗列出来，再进行筛选，就不难得出正确的答案.运用枚举法解题，能将混乱繁杂的概率问题简单化.

二、图象法图象法是解答高中数学问题的常用方法，有些概率问题中事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积、体积有关，此时我们很难计算出事件的个数，不妨采用图象法来解题，首先根据题意画出相应的图形，然后借助图形来分析问题，确定构成事件区域的长度、面积、体积以及实验的全部结果所构成的长度、面积、体积，再根据几何概型的概率公式进行求解.

例 2.A、B 两人计划一起爬山，他们约定早上5点至6点之间在校门口会面，谁先到就在门口等20分钟，如果过了时间对方还没有到就先行离开.请问A、B 两人一起去爬山的概率是多少？

解析：5点至6点之间一共有60分钟，我们可以用如图所示的平面直角坐标系来呈现他们在校门口相遇的情况，用 x 轴表示 A 到达校门口的时间，y 轴表示 B 到达校门口的时间，若 A、B 两人在校门口相遇，则|x-y|≤20，在平面直角坐标系中画出两条直线：|x-y|=20.正方形的面积表示早上5点至6点之间A、B两人在校门口相遇的所有可能，上、下两个三角形的面积即为A、B两人无法在校门口相遇的可能，中间部分的面积则表示A、B两人可以在校门口相遇的可能，由几何概型概率公式可得A、B两人在校门口相遇的概率为 .

我们借助图形，将概率问题转为平面几何中的面积问题，通过求得正方形和中间部分图形的面积，便可根据几何概型概率公式求得A、B两人一起去爬山的概率.运用图象法解题能将抽象的问题直观化、具体化.

三、间接法

有些问题直接求解较为困难或者比较复杂，此时我们可以利用间接法来解题，首先求出不可能发生的情况数，然后用总数减去它，便能快速求出事件发生的可能情况数，进而求得事件的概率.

例 3.甲、乙两人玩掷骰子游戏，如果两人各掷一次，所掷骰子点数分别为m、n，则所掷骰子点数和m+ n<11的概率是多少呢？

解析：甲、乙两人掷骰子，每个人掷骰子的结果都不受另外一个人结果的影响.所掷骰子点数和 m + n ≥ 11的情况只有3种：甲掷6点、乙掷6点，甲掷6点、乙掷5点，甲掷5点、乙掷6点.而甲、乙两人掷骰子一共有 6×6=36种情况，则所掷骰子点数和m+n≥11的概率为 ，所以所掷骰子点数和m+n<11的概率为1- .

所掷骰子点数和m+n<11的情况相对较少，这两个事件为对立事件，于是采用间接法，先求所掷骰子点数和 m + n ≥ 11的概率，再用1取减它即可得到问题的答案.

概率问题虽然难度不是很大，但综合性较强，侧重于考查同学们的逻辑推理能力、综合分析能力.因此同学们在解题时要注意仔细分析问题，可根据解题需求将可能的事件一一列举，或借助图形来分析问题，或换个角度思考问题，采用间接法来解题.

（作者单位：江西省赣州市兴国县兴国中学）