李世平，李姝睿

(1.内蒙古科技大学矿业与煤炭学院，内蒙古 包头 014014； 2.北京信息科技大学机电工程学院，北京 100192)

0 引言

线路中线测设工作是线路定测工作中一项重要的基础性工作[1-2]。线路中线的测设一般包括圆曲线、直线、缓和圆曲线的测设，这些曲线的测设元素一般都是局部坐标系(独立坐标系)的坐标，如何将局部坐标系坐标转化成国家或地方坐标系坐标是研究的关键问题[3-4]。本文在现有各自独立坐标系的数学模型基础上，推导出统一局部坐标系的坐标换算数学模型，即换算到第一个曲线独立坐标系的数学模型。最后，推导出统一的国家或地方坐标系中线点坐标数学模型。实现了快速、准确的将局部坐标系坐标转换成统一国家或地方坐标系坐标的过程。

1 测设中线点的独立坐标系数学模型

路线主要有若干直线段和曲线段组成，曲线段包括单圆曲线和带有缓和曲线的圆曲线[5-6]，以下推导各线段的局部坐标系数学模型。

1.1 建立曲线独立坐标系

为了推导公式及外业测设方便,将每个曲线和直线分别建立独立坐标系。曲线独立坐标系建立方法:以ZH点(若单圆曲线则以ZY点)为原点,以其切线方向为x轴；以过ZH点(或ZY点)并垂直于x轴方向为y轴，如图1所示。直线独立坐标系建立方法：以直线起点(QD点)为原点,以过QD点的直线方向为x轴；以过QD点且垂直于直线方向为y轴，如图2所示。

1.2 单圆曲线的数学模型

单圆曲线数学模型推导略，数学模型如下：

(1)

其中，xi为圆曲线上第i点在独立坐标系中的纵坐标；yi为圆曲线上第i点在独立坐标系中的横坐标；li为圆曲线上第i点到曲线起点(ZY点)的弧长；R为圆曲线半径。

1.3 直线段的数学模型

直线段的数学模型如下：

xi=i里程-QD里程

yi=0

(2)

其中，xi为直线段上第i点在独立坐标系中的纵坐标；yi为直线段上第i点在独立坐标系中的横坐标；i里程为直线段上第i点的里程；QD里程为直线段上起点里程。

1.4 带有缓和曲线的圆曲线的数学模型

此曲线包括缓和曲线段和圆曲线段，缓和曲线段和圆曲线段的数学模型是不同的，现分别叙述：

1)缓和曲线段上中线点的数学模型。

螺旋线是目前我国缓和曲线的常用线型，其数学模型为：

(3)

其中，R为圆曲线半径；l0为缓和曲线长；li为缓和曲线上第i点到曲线起点(ZH点)的弧长。

2)圆曲线段上中线点的数学模型。

(4)

其中，li为圆曲线上第i点到曲线起点(ZH点)的弧长。

比较式(4)和式(1)可看出，当l0=0时，则式(4)和式(1)相同。说明，当缓和曲线为零时带有缓和曲线的圆曲线即为单圆曲线。

2 测设中线点的局部坐标系数学模型

前面介绍了各个分段曲线的数学模型，本节研究将上述各分段坐标系数学模型换算成局部统一坐标系(第一分段独立坐标系)数学模型。如图3所示，共有三个坐标系：1)xⅠ-Ⅰ(0)-yⅠ坐标系，即右转单圆曲线坐标系；2)xⅡ-Ⅱ(0)-yⅡ坐标系，直线独立坐标系；3)xⅢ-Ⅲ(0)-yⅢ坐标系，即左传带有缓和曲线的圆曲线坐标系。规定：坐标系序号为：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ,…,J，每个坐标系内的点号为：1，2，3，…，i，每个坐标系内起始点点号为J(0)，终点点号为J(N)。很容易看出：Ⅰ(N)就是Ⅱ(0)，Ⅱ(N)就是Ⅲ(0)。

2.1 将Ⅱ(0)点换算到xⅠ-Ⅰ(0)-yⅠ坐标系内的数学模型

Ⅱ(0)点是单圆曲线的终点，也是直线的起点，换算到xⅠ-Ⅰ(0)-yⅠ坐标系内坐标的数学模型如下：

(5)

2.2 将Ⅱ坐标系内各点换算到Ⅰ坐标系内的数学模型

由图2可看出，Ⅱ坐标系纵轴xⅡ与Ⅰ坐标系纵轴xⅠ的夹角为αⅠ(单圆曲线的转向角)，因此Ⅱ坐标系内各点换算到Ⅰ坐标系内坐标的数学模型为：

(6)

2.3 将Ⅲ坐标系内各点换算到Ⅰ坐标系内的数学模型

Ⅲ坐标系内各点换算到Ⅰ坐标系内坐标的数学模型如下：

(7)

以上为将各曲线独立坐标系坐标换算到第一曲线独立坐标系内的数学模型。

3 测设中线点的统一坐标系数学模型

这里讲的中线点的统一数学模型是指将第一曲线独立坐标系的坐标换算到国家或地方坐标系的坐标数学模型。如何将第一曲线独立坐标系坐标换算到统一坐标系(国家或地方坐标系)内是本节研究的问题。假设国家或地方坐标系ZY点的坐标xZY，yZY及坐标方位角αZY-JD为已知，在第二、三节数学模型的基础上，推导出测设中线点的坐标数学模型。

3.1 圆曲线的统一数学模型

如图4所示，xOY为国家或地方坐标系，圆曲线的数学模型推导过程略，数学模型如下：

(8)

其中，xi为圆曲线上第i点的国家或地方坐标系的纵坐标;yi为圆曲线上第i点的国家或地方坐标系的横坐标;xZY为ZY点的国家或地方坐标系的纵坐标;yZY为ZY点的国家或地方坐标系的横坐标;αZY-JD为ZY-JD直线坐标方位角，即为第一坐标系纵轴在国家或地方坐标系内的坐标方位角。其他参见式(6)。

3.2 直线段的统一数学模型

直线段的数学模型如下：

(9)

其中，xi为直线段上第i点的国家或地方坐标系的纵坐标;yi为直线段上第i点的国家或地方坐标系的横坐标;其他参见式(6)和式(8)。

3.3 带有缓和曲线的圆曲线的统一数学模型

带有缓和曲线的圆曲线分为缓和曲线段和圆曲线段,虽两种曲线段上的数学模型不同,但为了表示方便,将用一个式子来表示两种曲线段的统一数学模型,统一数学模型如下:

(10)

其中，xi为带有缓和曲线的圆曲线上第i点的国家或地方坐标系的纵坐标;yi为带有缓和曲线的圆曲线上第i点的国家或地方坐标系的横坐标;其他参见式(7),式(8)。

4 计算实例

如图3,图4所示,ZY点某地方坐标系坐标为:xZY=83.250 m,yZY=55.403 m,ZY-JD直线的坐标方位角αZY-JD=88°56′54″,为简便起见,表1中只列出第三曲线段的坐标换算结果。

表1 线路测量坐标换算表

5 结语

1)推导出测设中线点的统一国家或地方坐标系坐标数学模型，为了实现线路测量的内外业一体化，快速确定中线测设点坐标起到积极作用。2)数学模型公式繁琐和复杂，如果将这些数学模型编制成程序进行计算，在实地计算中线点坐标就十分方便，提高了测设工作效率。3)最后得出的统一数学模型是以任意点在第一曲线独立坐标系坐标为变量的，这一点与其他数学模型稍有不同，该模型是对原有模型的改进和拓展。