何晓红, 李少云

(1.衢州广播电视大学 教务处, 浙江 衢州 324000; 2.温州广播电视大学 教师教学发展中心, 浙江 温州 325000)

一、研究基础

反双纽线正弦和反双纽线双曲正弦函数[1]496-505 [2]259的定义分别为：

和

为论述方便,对这两个函数的极限值记为：[2]259

和

其中，

是经典伽马函数[3]1-17,并且

是第一类完全椭圆积分[4]1-10.对实数a,b,c∈且c≠0,-1,-2….将高斯超几何函数F(a,b;c;x)定义为:

其中，当a≠0时,(a,0)=1;当n∈≡{k:k是正整数}时,

是移位阶乘函数.

另一对反双纽线三角函数，即反双纽线正切函数和反双纽线双曲正切函数分别定义为[5]77-94：

和

近几年,反双纽线三角函数的性质和不等式引起了国内外许多研究者的关注,并取得了丰硕成果.例如:陈超平建立了反双纽线三角函数的Wilker和Huygens型不等式[6]673-684

对所有0<|x|<1成立.

还有学者给出了反双纽线三角函数之间的不等式[7]1-14

arctl(x)

对所有x∈(0,1)成立.

本文的主要目的是发现并证明最佳参数α1,α2,β1,β2∈(0,1)，使得双向不等式

α1arcsl(x)+(1-α1)arcslh(x)

α2arctlh(x)+(1-α2)arctl(x)

对所有x∈(0,1)成立.

二、三个引理

为证明本文的主要结果，需要一些反双纽线三角函数的基本知识和三个引理.

我们记下面两个反双纽线函数值为：

根据反双纽线三角函数的定义和求导法则，我们容易得到它们的导数公式:

引理1设x1,x2∈且x1

在区间(x1,x2)内也是(严格)递增(递减)的[8]10.

引理2函数

φ(x)=(1+x4)3/2+(1-x4)3/2-2

证明:对函数φ(x)求导,可得

(1)

对所有x∈(0,1)成立.注意到：

(2)

所以,引理2容易从式(1)和式(2)得到.

引理3函数

φ(x)=(1+x4)7/4+(1-x4)7/4-2

证明：对函数φ(x)求导,可得

(3)

对所有x∈(0,1)成立.注意到：

(4)

所以,引理3容易从式(3)和式(4)得到.

三、主要结果

下面给出本文的主要结果并证明之.

定理1双向不等式

α1arcsl(x)+(1-α1)arcslh(x)

(5)

对所有x∈(0,1)成立，当且仅当……