王弟成

(江苏省苏州实验中学 215011)

提高高三数学复习效益，提高学生数学综合能力，提升学生核心素养，让学生获得高考理想成绩，是高三教学的重要目标．高三教学中我们始终坚持“基于学生思维，解决学生问题”的教学方法，让学生思维先行，展示学生思维，学在教的前头，教师针对学生“已有思维”及时诊断，发现问题，引导学生质疑探究，激发学生思维，比较改进，优化提升．在解决学生问题过程中落实四基，发展四能，提升素养，取得较好的复习效果．现以一道高考函数综合题求解教学为例，谈谈我们的教学思考．

题目：(2018全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

(2)在(0,+∞)只有一个零点，求a．

第(1)问给出a=1，f(x)是具体函数，学生按步骤有序思维，连续求导，判断单调区间，求最小值，再判断单调性，寻求最小值．难度不大，学生不存在问题，都能正确解答．

学生解答主要是第(2)问不会解、不严谨、不全面，所以课堂教学主要针对(2)问教学．

1 展示解法 指出问题 探究完善

学生解法1由f(x)=ex-ax2，得f′(x)=ex-2ax，

设g(x)=ex-2ax，则g′(x)=ex-2a．

(i)当a≤0时，g′(x)=ex-2a>0，

所以g(x)=ex-2ax在(0,+∞)上单调递增，

又g(0)=1，所以g(x)>g(0)=1>0，

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以f(x)>f(0)=1>0，

所以f(x)在(0,+∞)上没有零点．

(ii)当a>0时，由g′(x)=ex-2a>0得，

当x∈(-∞,ln 2a)时，g(x)单调递减，

当x∈(ln 2a,+∞)时，g(x)单调递增．

所以在(0,+∞)上，g(x)有最小值，即

g(x)min=g(ln 2a)=2a-2aln 2a

=2a(1-ln 2a)， ……

教学片断1: 改进讨论过程 优化讨论切入点

师：上面是部分同学的解法，主要是从参数a的一般情况讨论起，分a≤0,a>0等情况讨论，同学们考虑是否可以改进？

生2提出，讨论可以改进，由于当x≥0，此时ex≥1，所以可以直接讨论2a与1的关系.

学生解法2由f(x)=ex-ax2，

得f′(x)=ex-2ax，

设g(x)=ex-2ax，则g′(x)=ex-2a．

由于x∈(0,+∞)，所以g(x)=ex>1．

g(x)min=g(ln 2a)=2a-2aln 2a

=2a(1-ln 2a)，

教学片断2: 点出关键问题 师生探究完善

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