龚致宾， 楼红卫

(复旦大学 数学科学学院，上海200433)

1 引 言

微分中值定理是微积分学中的重要内容之一，很多关于中值等式的证明往往要利用微分中值定理，但是笔者发现涉及中值定理“双介值问题”的许多例题与习题是平凡的,举例如下，其中例1,4,5,6,8可分别在文献 [1-5] 中找到.

例2设函数f在闭区间 [0,1] 上连续，且在 (0,1) 内可导，证明：存在ξ,η∈(0,1)使得

例3设0

(本题曾出现在中国科学院大学2013年研究生入学统一考试题《高等数学(甲)》中)

例4函数f在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，证明：存在ξ,η∈(a,b), 使得

(eb-ea)f′(η)=(b-a)eηf′(ξ).

解令ξ=η,只要找是否有ξ满足 eb-ea=(b-a)eξ, 这就退化为与函数f无关的“单介值问题”，利用Lagrange中值定理易得.

例6设1

例7设 0

这些题目的共性是等式两边均含有f′，但涉及“两个中值”，题目的本意是用两次甚至多次中值定理来找到某种联结.但时常不小心因有明显满足ξ=η且与f无关的解而成为平凡的问题.

笔者发现此类命题大多数是以如下形式出现的： 设函数f在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，则存在ξ,η∈(a,b), 满足f′(ξ)=F(a,b,ξ,η)f′(η). 而F具有形式

(1)

其中二阶连续可导函数h,g是根据F的表达式找出来的函数，必要时为了使得F(a,b,ξ,η)对任何ξ,η∈(a,b)有意义, 还会对a,b的取值作一定限制, 比如假设 0

可以猜想，出题者的本意应该是让解答者先从F(a,b,ξ,η) 的表达式找到h,g使得 (1) 成立，然后利用Cauchy中值定理(例7-8)得到存在ξ,η满足

从而得到

(2)

然而，若 (1) 成立，则利用Cauchy中值定理，有ξ=η∈(a,b) 使得F(a,b,ξ,η)=1，从而原问题有与f无关的满足ξ=η∈(a,b) 的平凡解.

2 “双介值问题”的非平凡化

那么，能否增加限制条件ξ≠η，使得问题变得不平凡且有解？对于上述提及的类型，即……