刘蔚萍

(华中科技大学 数学与统计学院，武汉430074)

1 引 言

其中F′(x)=f(x)，C(I)={F(x)|F(x)在I上处处可导}，性质R表示“在I上有相同的导函数”.可以看出，在上升到代数系统理论高度后，不定积分不仅可以是教科书上的定义，还可以有另外新的更严密精确的定义.

受到这个启发，对于微积分中的其它概念，是否也可以用同余类来分析？基于这个思考，本文将微积分中的极限概念与代数系统理论建立了联系，为微积分提供了一种新的研究思路，得到了一些结论.这些结果有助于对极限存在的一元函数集合的代数构造有更深刻的认识.

在微积分的教学中，这种新的研究方法有助于培养学生的抽象思维、严格的逻辑推理和创新能力，以及对微积分相关概念更深刻的理解.

2 主要结果

定义1[3]设非空集合A，记性质为R, ∀a,b∈A，如果a,b要么有性质R，要么没有性质R，二者必居其一且仅居其一，则称性质R为集合A的一个关系，称a,b有关系R，记为aRb.

定义2[3]若集合A上的一个关系R满足

(i) 自反性aRa，(∀a∈A)；

(ii) 对称性aRb⟹bRa, (∀a,b∈A)；

(iii) 传递性aRb,bRc⟹aRc， (∀a,b,c∈A),

则称关系R为A的一个等价关系.

定理1设集合A={f(x)|在同一极限过程中，limf(x)存在},则在同一极限过程中，两函数极限相等这个性质R是集合A的一个等价关系.

证显然，由关系的定义1，在同一极限过程中，两函数极限相等这个性质R是集合A的一个关系.

下面证明关系R是一个等价关系.

(i) 因为∀f(x)∈A,显然limf(x)=limf(x)，即f(x)Rf(x)，所以自反性成立；

(ii) ∀f(x),g(x)∈A，因为f(x)Rg(x),即在同一极限过程中，limf(x)=limg(x) ⟹ limg(x)=limf(x)，所以g(x)Rf(x),对称性成立；

(iii)∀f(x),g(x)，h(x)∈A，若f(x)Rg(x),g(x)Rh(x)，即在同一极限过程中，limf(x)=limg(x),limg(x)=limh(x) ⟹ limf(x)=limh(x)即f(x)Rh(x)，所以传递性成立.

由定义2知，R是集合A的一……