杨吉英, 张 娟, 蔡姗姗

(1.保山学院 数学学院,云南 保山678000； 2.昆明理工大学 津桥学院工学系,昆明650106；3.普洱学院 数学与统计学院,云南 普洱665000)

1 引 言

本文结合无穷小阶数的定义,给出阶数的相关运算性质以及确定阶数的常用方法,其中无穷小阶数的几条运算性质,解释了无穷小内容的两个难点:在什么条件下,两个无穷小可以进行阶的比较?在等价无穷小代换求极限中,在什么条件下相减和相加的因子能看成一个整体直接代换?

2 主要结论

在文献[10]中给出如下无穷小的阶数的定义.

注1 并不是任一无穷小都有确定的阶数,即使与一切幂(x-a)α都能比较的.

注2f(x)是x→a时的α阶无穷小等价于f(x)与(x-a)α是同阶无穷小.

下面给出无穷小的阶数的一些运算性质.这些性质可以来解释初学者在学无穷小内容时比较困惑的两个问题:

(i) 是否任意两个无穷小都可以进行阶的比较?若不是,那在什么条件下两个无穷小才可以进行比较?

(ii) 在用等价无穷小代换求极限中,什么条件下相减和相加的因子能看成一个整体直接代换?如何代换?

引理1设x→a, or(f(x))=α, 则存在某一非零实数c,使得f(x)～c(x-a)α.

定理2设x→a, or(f(x))=α, or(g(x))=β,则f(x)与g(x)在x→a是同阶无穷小或高阶无穷小或低阶无穷小.

定理3设x→a, or(f(x))=α, or(g(x))=β,则有

(i) 若α<β,则or(f(x)±g(x))=or(f(x))；

(iii) 若α>β,则or(f(x)±g(x))=or(g(x)).

故当α<β时,or(f(x)±g(x))=or(f(x))；

(ii) ，(iii)同理得证.

此定理可以推广到有限个阶数存在且不相等的无穷小代数和情形,即有限个阶数存在且不相等的无穷小代数和的阶数取决于其中阶数最小的那个无穷小.

在满足定理3(i)的条件下,有

也就是f(x)±g(x)～f(x).从而可得到如下定理……