刘 植， 王青山， 陈晓彦

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

椭圆作为圆锥曲线的一员，自古希腊阿波罗尼奥斯(Apollonios， 262-190 BC)以来就是数学的重心.这个出于人类理智思索的美丽想象，到了文艺复兴时代由于John Kepler的创见而达到高峰.随着微积分的飞速发展，得到了精确计算椭圆面积的初等公式，却没有找到精确计算椭圆周长的初等公式.事实上，椭圆的周长是一个积分(事实上因为椭圆的缘故我们称之为椭圆积分)，这是一个超越函数，所以在实际应用中必须诉诸于近似公式.

为叙述方便，这里设a,b为一椭圆的半长轴和半短轴的长，L(a,b)表示该椭圆的周长.利用积分方法计算椭圆周长时，结论表示为第二类椭圆积分，其原函数无法用初等函数表示，因此椭圆没有精确计算周长的初等公式，只能展开为无穷级数的形式[1].1742年，苏格兰数学家Colin Maclaurin(1698-1746)首先给出按离心率展开的椭圆周长级数表达式

也即

(1)

在机械制图中常用“四圆心法”作椭圆的近似图形，这种方法是用四段圆弧来代替完整的椭圆周，用圆弧的长代替椭圆弧的长，从而求出椭圆周长的近似值.黄[2]和李[3]分别研究“四圆心法”并得到了椭圆周长的近似计算公式

何[4]通过改进上述公式，使其相对误差降低了10%.周[5]给出计算椭圆周长近似值的另一种作图解法，将椭圆弧近似为一直线段，并导出了相应的近似计算公式.此外，张[6]研究了另一种直角三角形几何作图法求解椭圆周长，也给出了相应近似计算的公……