李 倩， 王旭辉

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

平面(2D)变形是图像处理中具有多种应用程序的操作，有着广泛的应用.例如，利用WarpGAN自动生成漫画[1].平面变形在3D几何参数化中也有着重要贡献[2].

经典的平面变形方法有Free-From变形(FFD)[3]、Thin-Plate样条(TPS)[4]和Mean-Value坐标(MVC)[5]，但它们并不能保证局部失真.因此，最近的平面变形强调控制局部失真，即保证角度的局部变形，为此引入了共形映射，可以最大程度地保留角度.因此，近年来共形映射及其近似被广泛用于平面变形[6-9]以及参数化[10-11].但共形映射的自由度少，且很难插入四个及以上的点并保证单射性.

在此基础上，研究者提出最小化共形失真，即构造最优拟共形映射.例如，Lipman等[12]提出了4点插值公式(FPI)，可以最小化最大共形失真且均匀分布在整个区域；Nian等[13]提出了一种基于交替方向乘法器(ADMM)迭代算法来计算Teichmüller映射，能产生更均匀的参数化，提高精度；Goswami等[14]在多边形之间提出一种基于O(1/ε4)的迭代算法来获得连续的极值拟共形映射，保证了伸缩商的减小；Weber等[15]基于Teichmüller对极值映射的全纯二次微分伸缩商的刻画，提出了一种计算零类曲面极值拟共形映射分段线性逼近的算法，具有良好的收敛性；Lui等[16]提出了拟共形迭代(QC迭代)算法来计算Teichmüller映射，其基本思想是用Beltrami系数(BCs)表示微分同胚集，寻找与Teichmüller映射相关的Beltrami系数(BC)，最后使用Linear Beltrami Solver(LBS)构造最优拟共形映射.

本文在平面区域内通过双线性映射[17]构造拟共形映射，针对平面凸四边形，研究双线性映射的伸缩率极值情……