王福昌,贺财宝

(防灾科技学院 基础部，河北 廊坊 065201)

0 引言

均匀设计是我国数学家方开泰和王元提出的一种试验设计方法，特别适用于多水平多因素的试验设计复杂情形，主要通过均匀设计表进行试验设计[1]。该方法自1978年被提出以来，引起了数学和统计学专家广泛的关注[1-6]。

常微分方程组是一种应用广泛的数学模型，它的参数一般通过专家的专业知识确定。研究者一般假定模型参数已知时，讨论方程的性质，对于其反问题的研究相对较少。在实际应用中，要想根据试验观测数据筛选合适的模型，对它的参数进行精确估计变得十分重要，有一些文献对这一问题开展了研究[7-10]。针对最常见的猎物-捕食者模型的参数估计，人们提出了最小二乘逼近(LSA)法[7]、函数型数据分析法[8]和混合加速粒子群算法[9]。对于传染病SIR模型，一般在最小二乘法准则下用单点迭代法[10]。

以上传统的迭代方法，有的对初值依赖,有的过于复杂，本文先把参数估计问题化为多变量优化问题，再用并行和精英保留策略改进序贯均匀设计来估计微分方程组的参数，最后通过三个典型的应用案例检验方法的正确性和有效性。

1 基本假设和模型

假定常微分方程初值问题模型为

(1)

其中，y(t)=[y1(t),y2(t),…,yp(t)]T为关于时间的待求函数向量，θ∈Rs为模型参数，F(t,y(t),θ)为确定的非线性向量函数。再假设当给定初值条件y(t0)=y0后，方程(1)存在唯一精确解。

设在时刻t1,t2,…,tn处y(t)的观测向量值为y(t1),y(t2),…,y(tn)，预测向量值为h(t1,θ,y0),h(t2,θ,y0),…,h(tn,θ,y0)对应的最小二乘估计

(2)

通过优化模型(2)，即可得到参数θ,y0的最小二乘估计。……