浙江省温州育英国际实验学校 (325036) 周立政

文[1]研究了一道含绝对值函数的最值问题，作者利用恒成立的条件取一个中间值并结合绝对值三角不等式得出结果.本文从绝对值的概念出发，结合函数图象研究“中间值”的取法以及探讨特殊值是否一定要包括区间端点、一定是取三个特殊点等问题，与同仁探讨，请批评指正.

一、问题的引入

引例已知函数f(x)=x3，g(x)=|f(x)-ax-b|的定义域为[-1,2]，记g(x)的最大值M，则M的最小值为( ).

为什么要选择“g(-1),g(1),g(2)”？如果为了“好算”，似乎“g(-1),g(0),g(2)”更好算，但是选择“g(-1),g(0),g(2)”会得出M≥0的结论.若取不到等号则这个算法找不到最小值.为什么要取三个特殊值？取两个或者四个能得到结果吗？

二、问题的提出与解决

问题若函数y=|f(x)-(ax+b)|在x∈[m,n](m

分析：设M(a,b)=M，首先，|f(x)-(ax+b)|≤M恒成立，去绝对值可得-M≤f(x)-(ax+b)≤M，即-M+(ax+b)≤f(x)≤M+(ax+b)， 所以，曲线段y=f(x)(x∈[m,n])被两平行线l1:y=M+(ax+b)与l2:y=-M+(ax+b)“夹住”，它们正中间的直线是y=ax+b，如图1,

图1

图2

引例解法2：(筷子方法)如图3，作出函数y=x3(x∈[-1,2])的图象，其中A(2,8),B(-1,-1)，则直线AB的斜率kAB=3，作AB的平行线l并与曲线y=x3(x∈[-1,2])相切，易求切点C(1,1)，直线AB与直线l的方程分别为y=3x+2,y=3x-2，所以M的最小值是

图3

这就是解法1为何取f(-1),f(2),f(1)这三个数的原因：A,B,C三个点就是“筷子”与曲线段的“接触点”，其中切点C的横坐标就是解法1的中间量.上述解法是从“形”的角度得出结果的，从解题的严密性和简洁性考虑，可采用解法1的书写方法.

下面再举几例.

图4

评注：本例中，采用的是曲线段的两个端点和内部一个切点，共三个点.

例2 设函数f(x)=x2-ax(a∈R)，x∈[0,1]，|f(x)|的最大值为M(a)，求M(a)的最小值.

图5

评注：本例中采用的是曲线段的一个端点和内部一个切点，另一个端点不用，共两个点.

图6

评注：本例中，采用的是曲线段的两个端点和内部两个切点，共四个点.

如果修改题目条件a>0为a≤0，那么夹曲线的筷子距离最小的状态是一根过A，另一根过B，且都平行于x轴，M(a,b)的最小值是1，此时a=0,b=0.

三、结束语

《普通高中数学课程标准解读(实验)》指出：“我们不但要继续强调数学基础知识和基本技能的学习，而且还要赋予基础知识和基本技能新内涵，要始终重视对数学基础知识和基本技能价值的深入剖析，以及加强对其发展性的足够认识”.故此，我们要善于抓住绝对值和函数最值等核心知识，追根溯源，从不同角度观察、比较、抽象并感悟数学思想方法，提升探究“所以然”的能力，真正把数学核心素养的教学落到实处.