江西师范大学数学与统计学院 (330022) 涂佳微

函数概念及性质是中学数学课程内容的一条主线，而函数对称性在函数性质中占据重要地位，其中函数自对称和互对称性的结论较多也较抽象，是学生理解的一大难点.本文从一道选择题的学生解答出发，利用中点坐标公式，对函数对称性的相关结论进行探析，以此促进学生对函数对称性本质的理解.

1.引例

题目对于函数y=f(x)，若满足f(x-1)=f(1-x)，则y=f(x)的图像( ).

A.关于直线x=0对称 B.关于直线x=1对称

C.关于直线x=-1对称 D.以上结论都正确

解答：生1(换元法)：令t=x-1，则f(t)=f(-t).显然f(t)为偶函数，所以f(t)的对称轴为t=0，由t=x-1可以知道，t=0时，有x=1，所以函数关于x=1对称.故选B.

生2(换元法)：令t=x-1，则f(x)=f(t+1)，由f(t)=f(-t)，知f(t)为偶函数，f(t)的对称轴为t=0，所以f(t+1)的对称轴为t=0-1，因为f(x)=f(t+1)，所以f(x)的对称轴就是f(t+1)的对称轴.把t=0-1中的t换成x，得x=-1，所以函数关于x=-1对称.故选C.

生4(特例法)：令f(x)=1，显然满足f(x-1)=f(1-x)，则f(x)=1的对称轴有无数条.故选D.

评析：这是一道典型的易错题，出现以上几种常见的解法，其中生3的解法正确，利用了函数图像的自对称性质，生1的错误出现在“由t=x-1可以知道，t=0时，有x=1，所以函数关于x=1对称”，此时关于x=1对称的函数是f(x-1)，而非f(x)，这里出错的原因主要是忽略了最后对函数自变量的整体代换，正确做法是在得到f(t)=f(-t)，f(t)为偶函数后，由函数f(t)的对称轴为t=0知函数f(x)的对称轴为x=0；生2的错误出现在将t=0-1中的t换成x作为函数f(x)的对称轴，错因主要是混淆了f(x)的对称轴和f(t+1)的对称轴，t=0-1为函数f(t+1)的对称轴，此时函数f(x)与f(t+1)的对称轴并不相同，对于函数f(x)的自变量是x，而对于f(t+1)的自变量是t，函数对称轴描绘的是自变量为某常数时的直线，x与t+1等效，并非与t等效，正确做法是在得到f(t+1)的对称轴为t=0-1时，由f(x)中x与t+1等效，得其对称轴为x=t+1=-1+1=0；生4将充分条件当成了充要条件，函数f(x)=1只是函数y=f(x)的一个特例，不能说明所有情况.由分析，可见学生产生错解的主要原因是对函数对称性的本质把握不清，不能更好地借助已有的中点坐标公式，从函数图像上对称点的角度理解函数对称性的本质.

2.性质

评注：这是函数自对称性质，利用中点坐标公式证明的关键是任取图像上一组对称点，进而表示出其中点坐标，因为该函数图像是由无数组对称点构成，所以可借选取对称点的任意性推出其中点特征，进而推出该函数图像关于什么对称.该性质正是本文引例中生3所采用的性质，其中a=-1,b=1.

评注：以上两性质都是函数自对称性质，利用中点坐标公式证明的关键是任取图像上一组对称点，进而表示出其中点坐标，因为该函数图像是由无数组对称点构成，所以可借选取对称点的任意性推出其中点特征，进而推出该函数图像的对称性.

评注：以上两性质都是函数互对称性质，函数y=f(a+mx)与y=f(b-mx)的图像可看作由函数y=f(x)的图像经平移及伸缩变换得到的两个函数图像，y=f(a+mx)的图像由y=f(x)图像先向左平移a个单位，再将图像上所有点的横坐标压缩m倍后得到，y=f(b-mx)的图像由y=f(x)图像先向左平移b个单位，再将图像关于y轴对称，最后将图像上所有点的横坐标压缩m倍后得到.证明中利用中点坐标公式是证明的关键.

3.应用

例1 求与函数y=lg(1+x)的图像关于直线x=3成轴对称的函数表达式.

4.结语

函数对称性的性质较多且较抽象，学生常常容易混淆，对其本质的理解不够深刻，导致在对其应用时容易出错，利用中点坐标公式有助于学生理解函数对称性的本质，进而形成稳固的知识结构.