甘肃省靖远县第一中学 (730600) 唐旭尧

双变量或多变量关系条件下的代数式最值问题的求解，是近年高考中一个非常熟悉的“面孔”，经常在高考试卷中出现.此类问题变量众多，问题背景设置创新新颖，随着变量的系数、次数、符号、代数表达式等的变化，面目全非，变化多端，可以有效交汇不等式、函数或方程、导数以及其他相关的知识，融合数学知识、数学思想方法与数学能力等，能很好考查学生的数学能力，具有很好的选拔性与区分度，倍受命题者青睐.

1.问题呈现

问题(清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试理科数学试卷·12)已知实数a，b，c满足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，则a3+b3+c3的最小值是( ).

此题以“三元之和为1”与“三元平方和为1”为已知条件，进而确定“三元立方和的最小值”，创新新颖，问题背景具有渐进性、层次性，极具美感.破解问题的关键是巧妙借助对应公式的变形与转化，结合二次函数的性质、基本不等式、利用导数研究函数的单调性以及由函数的单调性确定函数的最值等知识的应用，巧妙融合，合理交汇，综合应用.

2.问题破解

点评：合理通过代数关系式的变形与转化，巧妙配凑，把三元立方和转化为三元乘积，再通过关系式的变形，调配系数，利用三元均值不等式来转化与应用，进而得以确定对应的最值问题.不等式问题利用不等式思维来处理，是破解问题的常见思维，但对代数关系式的变形与配凑技巧性非常强，要求具备非常高的代数运算技巧与……