安徽省巢湖市第六中学 (238000) 何显龙

关于三角形中的重心﹑垂心﹑内心﹑外心等问题在解析几何中也经常出现，这类问题体现了平面几何与解析几何的相互交融，由于涉及的知识面广，极富思考性和挑战性，是各类选拔性考试的选题对象.下面精选一些典型例题并予以分类解析，旨在探索解析几何中四心问题的解题方法，希望能给读者朋友有所帮助.

1.重心 即三角形三条中线的交点，重心到顶点距离等于它到对边中点距离的两倍.在解析几何中常用重心坐标公式解题.

例1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足AO⊥OB.求△AOB的重心G的轨迹方程.

评注：三角形的重心坐标公式是重心性质在解析几何中的重要体现，从而赋予此公式的在具体解题中所起的重要作用.

评注：根据重心的性质容易确定弦MN的中点坐标，然后再抓住点在椭圆上运用“点差法”求出弦所在直线的斜率k，这样就解决了问题的核心部分.

2.垂心 即三角形三条高线的交点，在解题中常利用高与边垂直确定直线的斜率关系.

例3 已知圆x2+y2-9x=0与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线C交于A,B两点，若△AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程.

评注：由于抛物线方程中只有一个待定参数，所以只要建立一个关于此参数的方程就能解决所求问题，而通过垂心找垂直是很容易得到一个等式的.

评注：由题设中的垂心得到了一个向量的等量关系，它是建立轨迹方程的……