杜振叶，蓝师义

广西民族大学数学与物理学院，广西南宁 530006

随机Loewner 演变（简称SLE） 是Schramm［1］研究回路删除随机游走与一致生成树的尺度极限时引入的一类含有一个参数的随机曲线族。这类随机曲线可以通过求解一个驱动函数为时间改变的Brownian 运动的Loewner 微分方程来描述。已经证明，SLE 可以用来描述若干来自统计力学的二维离散模型，包括Ising 模型［2-3］、临界渗流［4］、回路删除游走［5］、一致生成树［5］、调和探索过程［6］、离散Gassian 自由场［7］与q=2的随机簇模型［8］等。这为人们严格数学理解这些模型开辟了一条的新途径。同时，SLE 也使关于平面Brownian 运动的若干长时间公开问题得到了解决，尤其是Mandelbrot 关于Brownian 运动边界的Hausdorff 维数的猜测［9］与Brownian 运动相交指数值的决定［10-12］。近年来，随着对SLE 研究的不断深入，导致了人们对Loewner 微分方程的进一步研究［13-16］。最常见的Loewner 微分方程有下面3 种类型：一是上半平面内的通弦Loewner 方程，它导致的Loewner 链是一类从上半平面到上半平面子集的共形映射；二是单位圆盘内的径向Loewner 方程，其产生的Loewner 链是一族从单位圆盘到单位圆盘子集的共形映射；三是带形区域内的偶极Loewner 方程，它产生的Loewner 链是一类从带形区域到带形区域子集的共形映射。当然还有其他变式，有关Loewner微分方程的理论及其相关背景知识可参见文［15-16］等。

对于通弦与径向Loewner 微分方程，文［14］与文［13］已经分别讨论了它们的解关于时间t方向变化的估计以及对应于两个驱动函数的Loewner微分方程的解的差值可以通过这两个驱动函数差的上确界范数来估计。……