孙萌

天津大学应用数学中心，天津 300072

1 引言及主要结果

在研究函数的边界问题时，人们通常采用 “转化” 的方式。比如我们研究热函数的Cauchy 问题时，通常将其转化为研究将边界值函数通过 “Gaussian 平均” 后得到的函数。更确切地说，设ht(x) 是定义在上半空间Rn+1+上的热核，并且f∈L1loc(Rn)，令

则u(x，t) 是Rn+1+上的热函数，即满足热方程∂tu-Δxu=0. 这样，我们就可以通过研究热函数u(x，t) 的性质来研究f的性质。

早在1975 年，Fabes 和Neri 在文献［1］ 中发现，若定义在Rn+1+上的热函数u(x，t) 满足下列Carleson测度条件

则它的迹u(x，0) =f(x) 属于BMO 空间。反过来，所有迹满足BMO 条件的热函数u(x，t) 恰好可用（1） 式来刻画。该研究为解决在端点p=∞处的热方程的Cauchy 问题提供了新的思路（因BMO 空间可视为Lebesgue 空间L∞(Rn)的替代）。从那时起，大量的工作致力于研究联系Schrödinger 算子［2］，Campanato 空间［3］，调和函数类似刻画的推广等［4-5］。

我们知道，有Ricci 曲率下界的度量测度空间包括：Riemannian 流形在Gromov-Hausdorff 度量下的极限空间， 以及有非负曲率的Alexandrov 空间。 这些空间上的分析与几何研究在近二十年得到了广泛地关注与发展［6-7］。本文的主要目的是证明当底空间Rn被推广到有非负Ricci 曲率的度量测度空间时，热函数关于（1） 式有着相似的刻画结果。

本文设(X，d，μ) 是满足适当非负Ricci 曲率维数条件RCD*(0，N)［8］（见第二节定义9） 的度量测度空间，其中N≥1。这样的空间(X，d) 是完备的并且是可分的，μ是在空间X上局部有限的Borel 测度。下面给出BMO空间和TMO空间的定义。

定义1（BMO空间） 设f是X上的局部可积函数。称f属于有界平均振动函数空间BMO(X)，如果

定义2（TMO 空间） 设u是X× R+上的热函数，即在分布意义下满足热方程∂tu-Δxu=0. 称u属于温度平均振动函数空间TMO(X× R+)，如果